數位電子技術中的四變數卡諾圖

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已經開發出幾種技術來將複雜的布林表示式簡化為最簡單的形式。卡諾圖（K-Map）或卡諾圖就是其中一種最小化或簡化技術。

卡諾圖（K-Map）是一個圖表，由相鄰單元格的排列組成。其中，卡諾圖的每個單元格代表和式或積式中變數的特定組合。卡諾圖可用於簡化涉及任意數量變數的布林函式。但是，對於涉及五個或更多變數的問題，使用卡諾圖簡化布林函式會變得很繁瑣。因此，在實際應用中，卡諾圖通常限於六個變數。

卡諾圖中的單元格數量取決於給定布林函式中變數的數量。卡諾圖將有 2ⁿ 個單元格或方格，其中 n 是布林表示式中變數的數量。因此，對於二元函式，卡諾圖將有 2² = 4 個單元格；對於三元布林函式，卡諾圖將有 2³ = 8 個單元格；對於四元布林函式，卡諾圖將有 2⁴ = 16 個單元格，依此類推。

在這裡，我們將討論四變數卡諾圖，並將其用於簡化 4 個變數的布林函式。

四變數卡諾圖

四變數卡諾圖用於簡化 4 個變數的複雜布林表示式。眾所周知，四變數布林表示式可能有 2⁴ = 16 種可能的變數組合。

例如，在標準與或式 (SOP) 中，

$$\mathrm{f(A,B,C,D) \: = \: \bar{A}\bar{B}\bar{C}\bar{D} \: + \: \bar{A}\bar{B}\bar{C}D \: + \: \bar{A}\bar{B}C\bar{D} \: + \: \dots \: + \: ABCD}$$

該表示式的最小項表示如下：

$$\mathrm{f(A,B,C,D) \: = \: m_{0} \: + \: m_{1} \: + \: m_{2} \: + \: \dotso \: + \: m_{15}}$$

在標準或與式 (POS) 中，

$$\mathrm{f(A,B,C,D) \: = \: (A \: + \: B \: + \: C \: + \: D)(A \: + \: B \: + \: C \: + \: \overline{D} )(A \: + \: B \: + \: \overline{C} \: + \: D) \: \dotso \: (\overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: \overline{C} \: + \: \overline{D})}$$

該表示式的最大項表示為：

$$\mathrm{f(A,B,C,D) \: = \: M_{0}\cdot M_{1}\cdot M_{2} \: \dotso \: M_{15}}$$

一個 4 變數卡諾圖有 16 個單元格，每個單元格代表函式的最小項或最大項。圖 1 顯示了四變數布林表示式的 SOP（積之和）形式和 POS（和之積）形式。

這裡，列和行的二進位制數字表示採用格雷碼。這被稱為相鄰排序。在這些卡諾圖中，圖左側的二進位制數字表示任何行中變數 A 和 B 的條件，而卡諾圖頂部的二進位制數字表示任何列中變數 C 和 D 的條件。單元格右下角的十進位制數字表示最小項或最大項的指定。

現在，讓我們考慮一個例子來說明使用 4 變數卡諾圖簡化布林函式。

例 1

使用 4 變數卡諾圖簡化以下布林表示式。

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D \rgroup \: = \: \sum m \lgroup 2,3,6,7,8,10,13,15 \rgroup}$$

解答

給定布林函式的 SOP 卡諾圖表示如圖 2 所示。

解釋

函式的簡化按照以下步驟進行：

卡諾圖中沒有孤立的 1。

最小項 m2 可以與 m3、m6 和 m7 構成一個 4 方格。將其組合並讀取為：

$$\mathrm{\bar{A}C}()$$

最小項 m8 可以與 m10 構成一個 2 方格。將其組合並讀取為：

$$\mathrm{AB\bar{D}}()$$

最小項 m13 可以與 m15 構成一個 2 方格。將其組合並讀取為：

$$\mathrm{(A\bar{B}D)}$$

將所有乘積寫成 SOP 形式。

因此，簡化的 SOP 表示式為：

$$\mathrm{f(A,B,C,D) \: = \: \bar{A}C \: + \: A\bar{B}D \: + \: AB\bar{D}}$$

例 2

使用 4 變數卡諾圖最小化以下布林表示式。

$$\mathrm{f(A,B,C,D) \: = \: \prod \: M(4,6,11,14,15)}$$

解答

給定布林函式的 POS 卡諾圖表示如圖 3 所示。

解釋

給定函式的最小化按照以下步驟進行：

卡諾圖中沒有孤立的 0。

最大項 M4 可以與 M6 構成一個 2 方格。將其組合並讀取為：

$$\mathrm{(A \: + \: \bar{B} \: + \: D)}$$

最大項 M11 可以與 M15 構成一個 2 方格。將其組合並讀取為：

$$\mathrm{(\bar{A} \: + \: \bar{C} \: + \: \bar{D})}$$

現在，只剩下最大項 M₁₄。M₁₄ 可以與 M₆ 或 M₁₅ 構成 2 方格。如果我們將其與 M15 組合，則讀取為：

$$\mathrm{(\bar{A} \: + \: \bar{B} \: + \: \bar{C})}$$

最後，將所有求和項寫成 POS 形式。

因此，給定布林函式的簡化 POS 表示式為：

$$\mathrm{f(A,B,C,D) \: = \: (A \: + \: \bar{B} \: + \: D)(\bar{A} \: + \: \bar{C} \: + \: \bar{D})(\bar{A} \: + \: \bar{B} \: + \: \bar{C})}$$

卡諾圖數值問題

Q1. 使用 4 變數卡諾圖化簡以下布林函式

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D \rgroup \: = \: \sum m \lgroup 0,1,2,5,8,10,11,13,14,15 \rgroup }$$

Q2. 使用 4 變數卡諾圖最小化以下布林表示式。

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D \rgroup \: = \: \prod \: M \lgroup 0,2,8,10,11,13,15 \rgroup}$$

結論

這就是關於 4 變數卡諾圖及其用於將布林表示式最小化為最小形式的應用的全部內容。從上述討論中，我們可以得出結論，4 變數卡諾圖是涉及 4 個變數的布林表示式的圖形表示，並以標準 SOP 或 POS 形式表示。它用於將 4 變數布林表示式的標準 SOP 或 POS 形式、最小項形式或最大項形式轉換為其最小 SOP 或 POS 形式。