用與非門實現全加器

在數位電子學中，有不同型別的邏輯電路用於執行各種算術運算。其中之一是加法器。**加法器**(或**二進位制加法器**)是一種組合邏輯電路，它執行兩個或多個二進位制數的加法並給出輸出和。存在兩種型別的加法器，即**半加器**和**全加器**。

由於加法器是邏輯電路，因此它們使用不同型別的數字邏輯閘來實現，例如**或門**、**與門**、非門、與非門、或非門等。在這裡，我們將討論**使用與非門實現全加器**。但在討論之前，讓我們先了解一下全加器的基礎知識。

什麼是全加器？

可以對兩個二進位制數字(位)和一個進位位進行加法，併產生一個和位和一個進位位作為輸出的組合邏輯電路稱為全加器。換句話說，設計用於對三個二進位制數字進行加法併產生兩個輸出(和與進位)的組合電路稱為全加器。因此，全加器電路對三個二進位制數字進行加法，其中兩個是輸入，一個是來自前一次加法的進位。全加器的框圖如圖1所示。

從全加器的框圖中可以看出，它有三個輸入，即A、B、C_in。其中，A和B是輸入位，C_in是前一級的進位位。它有兩個輸出變數，即和(S)和進位(C_out)。

全加器的真值表

以下是全加器電路的真值表：

因此，從真值表可以看出，當只有一個輸入等於1或所有輸入都等於1時，全加器的和輸出等於1。而進位輸出在兩個或三個輸入等於1時進位為1。

全加器的輸出方程可以從全加器的真值表中得到。這些方程如下：

和輸出

$$\mathrm{Sum,\, S=A'B'C_{in}+A'BC'_{in}+AB'C'_{in}+ABC_{in}=A\oplus B\oplus C_{in} }$$

進位輸出

$$\mathrm{Carry,\, C_{out}=AB+AC_{in}+BC_{in}}$$

現在，讓我們討論用與非門實現全加器。

用與非門實現全加器

全加器電路可以用與非邏輯閘實現，如圖2所示。

從使用與非門的全加器的邏輯電路圖中，我們可以看到全加器需要9個與非門。

使用與非門的全加器電路的和輸出方程如下所示：

$$\mathrm{S=\overline{\overline{\left ( A\oplus B \right )\cdot \overline{\left ( A\oplus B \right )C_{in}}}\cdot \overline{C_{in}\cdot\overline{\left ( A\oplus B \right )C_{in}}} }=A\oplus B\oplus C_{in}}$$

其中，

$$\mathrm{A\oplus B=\overline{\overline{A\cdot \overline{AB}}\cdot \overline{B\cdot \overline{AB}}}}$$

使用與非門的全加器電路的進位輸出方程為：

$$\mathrm{C_{out}=\overline{\overline{C_{in}\left ( A\oplus B \right )}\cdot \overline{AB}}=AB+\left ( A\oplus B \right )C_{in}}$$

這樣，我們可以僅使用與非門來實現全加器電路。