數位電子技術 - 德摩根定理

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在布林代數中，定義了若干規則用於在數字邏輯電路中執行運算。布林代數是一種用於對二進位制數字（即0和1）執行運算的工具。這兩個二進位制數字0和1分別用於表示數位電路在輸入和輸出端的FALSE和TRUE狀態。布林代數由喬治·布林創立，它使用0和1來建立數位電路（如與門、或門、非門等）的真值表和邏輯表示式，這些表示式用於分析和簡化複雜的電路。

還有一位英國數學家奧古斯都·德摩根，他分別將與非運算和或非運算解釋為非與運算和非或運算。這種解釋被稱為德摩根定理。在本教程中，我們將詳細討論德摩根定理。

什麼是德摩根定理？

德摩根定理是布林代數中一個強大的定理，它包含一組兩條規則或定律。這兩條定律的制定是為了展示兩個變數的與、或和非運算之間的關係。這兩條規則使變數能夠取反，即與其原始形式相反。因此，德摩根定理給出了邏輯函式的對偶。

現在，讓我們來討論德摩根定理的兩條定律。

德摩根第一定理（定律1）

德摩根第一定律指出，變數的和（或運算）的補等於其各個補的積（與運算）。換句話說，兩個或多個變數或運算的補等價於每個變數的補的與運算，即：

$$\mathrm{\overline{A+B} \: = \: \bar{A} \cdot \bar{B}}$$

或者，它也可以表示為：

$$\mathrm{\lgroup A \: + \: B \rgroup' \: = \: A'\cdot B'}$$

該定律左右兩邊的邏輯實現如圖1所示。

因此，德摩根第一定律證明了或非門等價於帶氣泡的與門。下表顯示了該定律的證明。

此真值表證明了左側的布林表示式等價於德摩根第一定律表示式右側的布林表示式。

此外，德摩根第一定律可以擴充套件到任意數量的變數或變數組合。

例如：

$$\mathrm{\overline{A \: + \: B \: + \: C \: + \: D \: + \: E \: + \: \dotso} \: = \: \bar{A} \: \bar{B} \: \bar{C} \: \bar{D} \: \bar{E} \: \dotso}$$

此外：

$$\mathrm{\overline{ABC \: + \: DE \: + \: FGH \: + \: \dotso}\: = \: \overline{\lgroup ABC \rgroup}.\overline{\lgroup DE \rgroup}.\overline{\lgroup FGH\rgroup}.\dotso}$$

從以上討論中，我們可以得出結論，德摩根第一定律將表示式從NOT符號下的和形式轉換為積形式。

德摩根第二定理（定律2）

德摩根第二定律指出，變數的積（與運算）的補等價於其各個補的和（或運算）。

換句話說，兩個或多個變數與運算的補等於每個變數的補的和運算，即：

$$\mathrm{\overline{AB} \: = \: \overline{A} \: + \: \overline{B}}$$

它也可以表示為：

$$\mathrm{\lgroup AB \rgroup' \: = \: A' \: + \: B'}$$

該表示式左右兩邊的邏輯實現如圖2所示。

因此，德摩根第二定律證明了與非門等價於帶氣泡的或門。下表顯示了該定律的證明。

此真值表證明了左側的布林表示式等價於德摩根第二定律表示式右側的布林表示式。

與第一定律類似，我們可以將德摩根第二定律擴充套件到任意數量的變數或變數組合。

例如：

$$\mathrm{\overline{ABCDE \dotso} \: = \: \overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: \overline{C} \: + \: \overline{D} \: + \: \overline{E} \: + \: \dotso}$$

並且，對於變數組合：

$$\mathrm{\overline{\lgroup ABC \rgroup} \overline{\lgroup DE \rgroup} \overline{\lgroup FG \rgroup \dotso} \: = \: \overline{ABC} \: + \: \overline{DE} \: + \: \overline{FG}}$$

因此，根據以上討論，我們可以得出結論，德摩根第二定律將變數或變數組合的乘積形式在非符號下轉換為和的形式。

因此，德摩根定律將與運算轉換為或運算，將或運算轉換為與運算。這個原理稱為對偶性。

示例 1

將德摩根定理應用於以下布林表示式：

$$\mathrm{F \: = \: \overline{AB \overline{ \lgroup C \: + \: D \rgroup}EF}}$$

解答

給定的表示式是：

$$\mathrm{F \: = \: \overline{AB \overline{ \lgroup C \: + \: D \rgroup}EF}}$$

由於給定的表示式在非符號下具有與運算，因此應用德摩根第二定律，我們得到：

$$\mathrm{F \: = \: \overline{AB} \: + \: \lgroup C \: + \: D \rgroup \: + \: \overline{EF}}$$

這是給定表示式的等價式或對偶式。

示例 2

將德摩根定理應用於以下布林表示式：

$$\mathrm{F \: = \: \overline{AB \: + \: \overline{CD}}}$$

解答

給定的表示式是：

$$\mathrm{F \: = \: \overline{AB \: + \: \overline{CD}}}$$

給定的表示式以非符號下的變數和的形式出現，因此應用德摩根第一定律，我們得到該表示式的對偶式。

$$\mathrm{F \: = \: \overline{AB} \cdot \overline{\overline{CD}} \: = \: \overline{AB} \cdot CD}$$

在本章中，我們解釋了德摩根定理的兩個定律，並展示了它們如何在數字邏輯電路中執行不同的操作。