SOP和POS形式的邏輯表示式

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在關注標準積之和(SSOP)形式和標準和之積(SPOS)形式的邏輯表示式之前，讓我們簡要介紹一下“積之和”和“和之積”形式。

SOP（積之和）形式

SOP或積之和形式是表達邏輯或布林表示式的一種形式。在SOP中，輸入變數的不同乘積項透過邏輯或運算連線在一起。因此，在SOP形式的情況下，我們首先對輸入變數進行邏輯與運算，然後使用邏輯或運算將所有這些乘積項加在一起。

例如：

$$\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: ABC \: + \: \bar{A}BC \: + \: AB \bar{C}}$$

這是一個三變數邏輯表示式。這裡，ABC、A'BC和ABC'是三個乘積項，將它們加在一起得到SOP形式的表示式。

POS（和之積）形式

POS或和之積形式是用於表示邏輯表示式的另一種形式。在POS形式中，輸入變數的不同和項透過邏輯與運算連線在一起。因此，如果我們想用POS形式表達一個邏輯表示式，我們需要首先對所有輸入變數進行邏輯或運算，然後使用與運算將這些和項連線起來。

例如：

$$\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: \lgroup A \: + \: B \: + \: C \rgroup \lgroup \bar{A} \: + \: B \: + \: C \rgroup \lgroup A \: + \: B \: + \: \bar{C} \rgroup}$$

這裡，f是一個三變數邏輯表示式。從這個例子可以看出，有三個和項透過與運算連線在一起，得到給定表示式的POS形式。

現在，讓我們詳細討論標準積之和(SSOP)形式和標準和之積(SPOS)形式。

布林或邏輯表示式可以用兩種標準形式表示，即：

• SSOP形式
• SPOS形式

標準積之和(SSOP)形式

標準積之和(SSOP)形式是一種表達邏輯表示式的方式，其中邏輯表示式表示為多個乘積項之和，每個乘積項包含邏輯表示式的所有變數，這些變數可以是反相的或非反相的。

由於SSOP形式的每個乘積項都包含所有變數，因此它也稱為展開的積之和形式。SSOP形式也稱為析取正規化(DCF)或規範積之和形式或標準積之和形式。

我們可以從真值表中簡單地得到邏輯表示式的標準積之和形式，方法是確定所有對應於給定邏輯表示式(例如f)值為1的組合的項之和。

我們也可以使用布林代數從積之和(SOP)形式得到表示式的標準積之和(SSOP)形式。

例如：

$$\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: A \bar{B} \: + \: B \bar{C}}$$

這是一個三變數邏輯表示式，但它是用SOP形式表達的。我們可以使用布林代數將此表示式轉換為SSOP形式，如下所示。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C \rgroup \: = \: A \bar{B} \lgroup C \: + \: \bar{C} \rgroup \: + \: B \bar{C} \lgroup A \: + \: \bar{A} \rgroup}$$

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C \rgroup \: = \: A \bar{B}C \: + \: A \bar{B} \: \bar{C} \: + \: AB \bar{C} \: + \: \bar{A}BC}$$

這是給定邏輯表示式的標準積之和形式。我們可以注意到，在SSOP形式中，每個乘積項都包含邏輯函式的所有變數，這些變數可以是反相的或非反相的。每個這樣的乘積項稱為最小項。一個n個變數的邏輯函式或表示式最多可以有2ⁿ個最小項。值為1的邏輯表示式最小項之和稱為該表示式的標準積之和形式。

標準和之積(SPOS)形式

標準和之積(SPOS)形式是一種表達邏輯函式的方式，其中邏輯表示式表示為多個和項之積，每個和項包含邏輯表示式的所有變數，這些變數可以是反相的或非反相的。

SPOS形式也稱為合取正規化(CCF)或展開的和之積形式或標準和之積形式或規範和之積形式。

SPOS形式的每一項都是透過考慮輸出等於0的變數組合得出的。每一項都是表示式所有變數的和。

在SPOS形式中，如果變數在組合中值為1，則它以反相形式出現；如果它在組合中值為0，則它以非反相形式出現。

在標準和之積形式中，包含函式n個變數中的每一個變數（無論是反相的還是非反相的）的項稱為最大項。對於n個變數的邏輯函式，最多可能有2ⁿ個最大項。值為0的邏輯表示式的最大項之積稱為該表示式的標準和之積形式。

與SSOP形式類似，我們可以從邏輯表示式的真值表中得到標準和之積形式，方法是確定所有對應於給定邏輯表示式(例如f)值為0的變數組合的和項之積。

此外，可以使用布林代數得到邏輯表示式的SPOS形式。

例如：

$$ \mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: \lgroup \bar{A} \: + \: B \rgroup \: + \: \lgroup A \: + \: \bar{C} \rgroup} $$

這是一個包含三個變數的邏輯表示式，但它是以標準與或式(POS)的形式表示的。我們可以透過布林代數將其轉換為標準與或式(SPOS)形式，如下所示。

$$ \mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C\rgroup \: = \: \lgroup \bar{A} \: + \: B \: + \: C \bar{C} \rgroup \: + \: \lgroup A \: + \: \bar{C} \: + \: B \bar{B} \rgroup} $$

$$ \mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: \lgroup \bar{A} \: + \: B \: + \: C \rgroup \lgroup \bar{A} \: + \: B \: + \: \bar{C} \rgroup \lgroup A \: + \: B \: + \: \bar{C} \rgroup \lgroup A \: + \: \bar{B} \: + \: \bar{C} \rgroup} $$

這是給定邏輯表示式的標準積之和式(SPOS)形式。在這裡，我們可以注意到，在SPOS形式中，每個和項都包含邏輯函式的所有變數，這些變數要麼是反向的，要麼是非反向的。