數位電子技術 - 八進位制運算

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什麼是八進位制運算？

在數位電子技術中，八進位制數廣泛應用於系統設計、編碼、解碼等。八進位制運算可以定義為提供一組規則和運算子來操作八進位制數的數學。換句話說，利用八進位制數進行數值計算的數學系統被稱為八進位制運算。

在八進位制運算中，我們可以執行以下四種基本的算術運算：

• 八進位制加法
• 八進位制減法
• 八進位制乘法
• 八進位制除法

在數字電子系統中，八進位制數用於以更緊湊的形式表示二進位制資訊和資料，因為一個八進位制數字可以表示一組三個二進位制數字或位。因此，瞭解八進位制運算對於學習數位電子技術非常重要。

讓我們藉助示例詳細討論這四種八進位制運算中的每一種。

八進位制加法

在八進位制運算中，八進位制加法是用於將兩個或多個八進位制數相加以產生其和的基本算術運算之一。八進位制加法類似於十進位制加法。但是，在八進位制加法的情況下，當和等於或大於8時，會產生進位傳遞到下一列。

讓我們看一些已解決的示例來了解八進位制加法的過程。

例1

將(315)₈和(222)₈相加。

解答

八進位制數315和222的加法如下所示：

解釋

將最右邊一列的八進位制數字相加：5 + 2 = 7。將數字7寫下作為結果。

移到第二列並相加八進位制數字1和2：1 + 2 = 3。將數字3寫下作為結果。

移到下一列並相加第三列的八進位制數字：3 + 2 = 5。將數字5寫下作為結果。

因此，315和222的八進位制加法的最終結果是537。

例2

執行八進位制加法(372)₈ + (716)₈。

解答

給定八進位制數的加法解釋如下：

解釋

將最右邊一列的八進位制數字相加：2 + 6 = (10)₈。因此，將最後一位數字(0)寫下作為結果，並將1進位到下一列。

移到第二列，並加上來自上一步的進位：7 + 1 + 1 = (11)₈。將最後一位數字(1)寫下作為結果，並將左邊的1進位到下一列。

移到第三列，並加上來自上一步的進位：3 + 7 + 1 = 13。沒有其他數字需要相加。因此，寫下結果。

因此，八進位制加法的最終結果是1310。

八進位制減法

八進位制減法是另一種對八進位制數執行的基本算術運算。它用於查詢兩個八進位制數之間的差。

假設八進位制減法為(x)₈ - (y)₈，如果數字x小於數字y，則從下一個更高階位置借位1來執行八進位制減法。

讓我們看一些已解決的示例來了解八進位制減法。

例1

從(325)₈中減去(213)₈。

解答

給定的八進位制減法如下所示：

解釋

從最右邊一列的數字開始減：5 – 3 = 2。將數字2寫下作為結果。

移到下一列並減去數字：2 – 1 = 1。將數字寫下作為結果。

移到下一列並減去八進位制數字：3 – 2 = 1。將數字1寫下作為結果。

因此，給定八進位制減法的最終結果是(112)₈。

例2

從(317)₈中減去(125)₈。

解答

數字317₈和125₈的八進位制減法解釋如下：

解釋

減去最右邊的數字：7 – 5 = 2。將數字2寫下作為結果。

移到第二列並減去數字：1 – 2。由於1小於2，因此從下一個更高位借位1，使其變為11。因此，八進位制減法為11 – 2 = 7。將八進位制數字7寫下作為結果。

移到最左列並減去數字：2 – 1 = 1。將數字1寫下作為結果。

因此，減法的最終結果是(172)₈。

八進位制乘法

八進位制乘法是對八進位制數執行的第三種基本算術運算。它用於查詢兩個八進位制數的乘積。

八進位制乘法是透過將一個八進位制數的每個數字乘以另一個八進位制數的每個數字來執行的。最終結果是透過將乘法的所有部分乘積相加而得到的。

以下數值示例演示了執行八進位制乘法的方法。

例1

將(375)₈乘以(5)₈。

解答

給定八進位制數的乘法解釋如下：

解釋

將八進位制數字5乘以八進位制數375的每個數字。寫下乘法的結果以獲得最終乘積(2361)₈。

例2

執行(624)₈和(25)₈的八進位制乘法。

解答

給定八進位制數的乘法解釋如下：

解釋

將第二個八進位制數25的最右邊的數字(5)₈乘以第一個八進位制數624的每個數字，並寫下部分乘積。

將八進位制數25的下一位數字(2)₈乘以八進位制數624的每一位數字。左移一位，寫下部分積。

將所有部分積相加，得到最終結果(20444)₈。

八進位制除法

八進位制除法是可以在八進位制數上執行的基本算術運算之一，用於求出商和餘數。

下面描述八進位制除法的步驟：

步驟1 - 從將被除數的最左邊的數字除以除數開始。

步驟2 - 將得到的商乘以除數，並將積從被除數中減去。

步驟3 - 將被除數的下一位八進位制數字移下來，重複上述兩個步驟，直到使用被除數中的所有數字。

讓我們透過一些已解決的例子來了解八進位制數的除法。

例1

將(1275)₈除以(3)₈。

解答

給定數字的八進位制除法如下所示：

在這個例子中，八進位制數(1275)₈除以(3)₈得到商(351)₈和餘數(2)₈。

讓我們再舉一個例子，以便更好地理解八進位制除法。

例2

執行(1365)₈除以(5)₈的八進位制除法。

解答

給定數字的八進位制除法如下所示：

在這個八進位制除法的例子中，商是(227)₈，餘數是(2)₈。

我們也可以透過將八進位制運算轉換為二進位制形式來執行八進位制算術運算。眾所周知，一個八進位制數字可以用一組3個二進位制數字或位來表示。

下表給出了每個八進位制數字的二進位制表示：

讓我們看一些例子來學習透過二進位制轉換進行八進位制算術運算。

透過二進位制轉換進行八進位制加法

透過二進位制轉換進行兩個八進位制數的加法可以按照以下步驟執行：

步驟1 - 將給定的八進位制數轉換為它們的二進位制等價物。

步驟2 - 將得到的二進位制數相加。

步驟3 - 將最終結果轉換回八進位制格式。

示例

透過二進位制轉換相加(75)₈和(14)₈。

解答

將給定的八進位制數轉換為它們的二進位制等價物。

(75)₈ = (111 101)₂

(14)₈ = (001 100)₂

以二進位制形式相加八進位制數：

將和從二進位制轉換為八進位制以獲得最終結果：

(001 001 001)₂ = (111)₈

透過二進位制轉換進行八進位制減法

要透過二進位制轉換執行兩個數的八進位制減法，我們首先將它們轉換為它們的二進位制等價物，然後根據二進位制減法的規則執行減法，最後將最終結果轉換回八進位制數系統。

以下是一個演示如何透過二進位制轉換執行八進位制減法的示例。

示例

透過轉換為二進位制等價物，從(47)₈中減去(16)₈。

解答

將給定的八進位制數轉換為其等效的二進位制：

(47)₈ = (100 111)₂

(16)₈ = (001 110)₂

使用二進位制減法的規則減去這些數字：

將結果轉換回八進位制數系統：

(011 001)₂ = (31)₈

透過二進位制轉換進行八進位制乘法

就像加法和減法一樣，我們也可以透過將八進位制數轉換為其等效的二進位制來執行八進位制數的乘法。以下示例演示瞭如何透過二進位制轉換執行八進位制乘法。

示例

以二進位制形式將(417)₈乘以(3)₈。

解答

將給定的八進位制數轉換為二進位制：

(417)₈ = (100 001 111)₂

(3)₈ = (011)₂

將得到的二進位制數相乘：

將結果轉換回八進位制格式：

(1 100 101 101)₂ = (1455)₈

透過二進位制轉換進行八進位制除法

要透過二進位制轉換執行八進位制除法，我們首先將給定的八進位制數轉換為其等效的二進位制，然後根據二進位制除法的規則執行除法，最後將結果轉換回八進位制形式。

以下示例說明了如何透過二進位制轉換執行八進位制除法。

示例

使用二進位制轉換方法將(547)₈除以(5)₈。

解答

將給定的八進位制數轉換為它們的二進位制等價物：

(547)₈ = (101 100 111)₂

(5)₈ = (101)₂

根據二進位制除法算術規則執行二進位制除法：

將二進位制結果轉換回八進位制格式：

商 = (1 000 111)₂ = (107)₈

餘數 = (100)₂ = (4)₈

結論

在本章中，我們解釋了各種算術運算，例如八進位制數的加法、減法、乘法和除法。

我們還介紹了八進位制算術運算的二進位制方法，其中我們首先將給定的八進位制數轉換為其二進位制等價物，然後執行算術運算，最後將二進位制結果轉換回八進位制格式。