數位電子技術 - 數制

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數字數制是一種位置計數法，它有一些稱為數字的符號。它提供了一套完整的數字、運算子和規則來執行運算。

在數字數制中，使用的數字個數決定了數制的基數。例如，二進位制數制有兩個數字（0和1），因此二進位制數制的基數為2。

數字數制構成了現代計算技術和數位電子的基礎。它們用於使用數字系統表示、處理和操縱資訊。

本章將討論不同型別數字數制的根本概念。

數字數制型別

在數位電子技術中，主要使用以下四種類型的數字數制：

• 二進位制數制
• 十進位制數制
• 八進位制數制
• 十六進位制數制

讓我們詳細討論每個數制。

二進位制數制

二進位制數制是所有數字系統實現和工作背後的基本組成部分。

二進位制數制有兩個符號或數字，即0和1。因此，這兩個數字用於表示資訊並執行所有數字運算。每個二進位制數字稱為一位。

由於二進位制數制使用兩個數字，因此其基數為2。因此，二進位制數的值計算為2的冪之和。

二進位制數字在數字系統中用於表示其開和關狀態。其中，0用於表示數字系統的關狀態，1用於表示系統的開狀態。

總的來說，二進位制數制構成了計算、數字通訊和數字資訊儲存的基礎。

示例

考慮二進位制數1101.011。這個數的整數部分是1101，小數部分是0.011。整數部分的數字1、0、1和1的權重分別為2⁰、2¹、2²、2³。類似地，小數部分的數字0、1和1的權重分別為2^-1、2^-2、2^-3。

數學上，我們可以寫成：

$$\mathrm{1101.011 \: = \: (1 \: \times \: 2^{3}) \: + \:(1 \: \times \: 2^{2}) \: + \: (0 \: \times \: 2^{1}) \: + \: (1 \: \times \: 2^{0}) \: + \: (0 \: \times \: 2^{−1}) \: + \: (1 \: \times \: 2^{−2}) \: + \: (1 \: \times \: 2^{−3})}$$

簡化右側項後，我們將得到一個十進位制數，它是左側二進位制數的等價值。

十進位制數制

十進位制數制本身並非數字數制。但它被廣泛用於以人類可讀的格式表示數字資訊。

十進位制數制是基數為10的數制，具有10個唯一數字，即0、1、2、3、4、5、6、7、8和9。它是人類用來以自然方式表示資訊標準數制。但是，數字系統不能直接處理以十進位制表示的資訊，因此它被轉換為二進位制形式，然後進行處理。

十進位制數制的基數為10。因此，十進位制數的值計算為10的冪之和。

示例

考慮十進位制數1358.246。這個數的整數部分是1358，小數部分是0.246。數字8、5、3和1的權重分別為(10)⁰、(10)¹、(10)²和(10)³。類似地，數字2、4和6的權重分別為(10)^-1、(10)^-2和(10)^-3。

數學上，我們可以寫成：

$$\mathrm{1358.246 \: = \: (1 \: \times \: 10^{3}) \: + \:(3 \: \times \: 10^{2}) \: + \: (5 \: \times \: 10^{1}) \: + \: (8 \: \times \: 10^{0}) \: + \: (2 \: \times \: 10^{−1}) \: + \: (4 \: \times \: 10^{−2}) \: + \: (6 \: \times \: 10^{−3})}$$

簡化右側項後，我們將得到左側的十進位制數。

八進位制數制

八進位制數制是數位電子領域中用於表示資訊的另一種數字數制。它是一個基數為8的數制，具有八個唯一數字，即0、1、2、3、4、5、6和7。

需要注意的是，八進位制數制相當於3位二進位制數制，因為2³ = 8。因此，該數制可用於計算和數位電子應用。

八進位制數的值是8的冪之和，因為8是八進位制數系統的基數。

八進位制數系統用於數位電子領域，以緊湊的形式表示二進位制資訊，例如Linux或Unix系統中的許可權、IPv6地址、二進位制機器碼指令，以及在錯誤檢測演算法中等等。

示例

考慮一下**八進位制數1457.236**。這個數的整數部分是1457，小數部分是0.236。數字7、5、4和1的權重分別為(8)⁰、(8)¹、(8)²和(8)³。類似地，數字2、3和6的權重分別為(8)^-1、(8)^-2和(8)^-3。

數學上，我們可以寫成：

$$ \mathrm{1457.236 \: = \: (1 \: \times \: 8^{3}) \: + \:(4 \: \times \: 8^{2}) \: + \: (5 \: \times \: 8^{1}) \: + \: (7 \: \times \: 8^{0}) \: + \: (2 \: \times \: 8^{−1}) \: + \: (3 \: \times \: 8^{−2}) \: + \: (6 \: \times \: 8^{−3})} $$

簡化等式右邊項後，我們將得到一個十進位制數，它等價於等式左邊的八進位制數。

十六進位制數制

十六進位制數系統是一個基數為16的數系統。它有16個數字，0到9和A到F。其中，A代表10，B代表11，C代表12，D代表13，E代表14，F代表15。十六進位制數系統等價於一個4位二進位制數系統，因為2⁴ = 16。因此，十六進位制數的值可以透過16的冪之和來計算。

在數位電子領域，十六進位制數系統用於記憶體地址表示、數字顏色表示、低階計算機程式設計、編碼、組合語言程式設計、微控制器、鍵盤等。十六進位制數系統在數字表示和人類可讀性之間取得了平衡。

示例

考慮一下**十六進位制數1A05.2C4**。這個數的整數部分是1A05，小數部分是0.2C4。數字5、0、A和1的權重分別為(16)⁰、(16)¹、(16)²和(16)³。類似地，數字2、C和4的權重分別為(16)^-1、(16)^-2和(16)^-3。

數學上，我們可以寫成：

$$ \mathrm{1A05.2C4 \: = \: (1 \: \times \: 16^{3}) \: + \:(10 \: \times \: 16^{2}) \: + \: (0 \: \times \: 16^{1}) \: + \: (5 \: \times \: 16^{0}) \: + \: (2 \: \times \: 16^{−1}) \: + \: (12 \: \times \: 16^{−2}) \: + \: (4 \: \times \: 16^{−3})} $$

簡化等式右邊項後，我們將得到一個十進位制數，它等價於等式左邊的十六進位制數。

數字數制系統的優點

以下是數字數制系統的一些主要優點：

• 數字數制系統提供了一種簡單且一致的方式來表示和理解資訊。
• 數字數制系統允許開發高效的方法來儲存和傳輸數字資訊。
• 數字數制系統提供表示不同型別資訊的方法，例如文字、數字、影像等。
• 數字數制系統允許將資訊從一種形式轉換為另一種形式，以滿足應用程式的需求。
• 數字數制系統在硬體和軟體之間建立了相容性。

數字數制系統的應用

數字數制系統應用於各種數位電子領域，例如計算、網際網路、通訊、訊號處理等等。以下是數字數制系統應用的一些例子：

• 資訊表示
• 數字通訊
• 數字資料和資訊的儲存和傳輸
• 演算法開發
• 系統程式設計等。

結論

本章討論了數字數制系統的基本概念。理解數字數制系統對於設計、實現和排除數字系統的故障至關重要。數字數制系統提供了在數字系統中表示和操作資訊的不同方法。