數位電子技術中的六變數卡諾圖

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閱讀本章，瞭解如何使用卡諾圖 (Karnaugh Map) 簡化六變數布林函式。讓我們從簡要介紹卡諾圖 (K-Map) 開始。

卡諾圖 (K-Map)

卡諾圖或K-Map是一種將布林函式簡化為最小形式的圖形方法。卡諾圖可以定義為一個圖表或圖形，它由相鄰的方格或單元格組成，每個單元格代表布林表示式變數的特定組合，以和式或積式形式表示。一個典型的二變數卡諾圖如圖1所示。

在實際應用中，我們通常使用最多6個變數的卡諾圖。但是，卡諾圖可以用於任意數量的變數，但對於5個或更多變數，它會變得繁瑣。

現在，讓我們討論六變數卡諾圖及其用於將布林函式簡化為最小形式的應用。

六變數卡諾圖

六變數卡諾圖用於簡化六個變數（例如A、B、C、D、E、F）的布林表示式。它有64 (2⁶) 個相鄰單元格或方格。其中，每個單元格代表函式的變數組合。

對於SOP形式的6變數布林函式，輸入變數的可能組合如下：

$$\mathrm{\bar{A}\bar{B}\bar{C}\bar{D}\bar{E}\bar{F}, \: \bar{A}\bar{B}\bar{C}\bar{D}\bar{E}F, \: \bar{A}\bar{B}\bar{C}\bar{D}E\bar{F}, \: \dots \: ABCDEF}$$

這些變數組合的最小項表示分別為m₀、m₁、m₂ … m₆₃。

類似地，對於POS形式的6變數布林函式，輸入變數的可能組合如下：

$$\mathrm{\left ( A \: + \: B \: + \: C \: + \: D \: + \: E \: + \: F \right ), \: \left ( A \: + \: B \: + \: C \: + \: D \: + \: E \: + \: \bar{F} \right ), \: \left ( A \: + \: B \: + \: C \: + \: D \: + \: \bar{E} \: + \: F \right ), \: \dots \: \left ( \bar{A} \: + \: \bar{B} \: + \: \bar{C} \: + \: \bar{D} \: + \: \bar{E} \: + \: \bar{F} \right )}$$

這些變數組合的最大項表示分別為M₀、M₁、M₂、... M₆₃。

如前所述，六變數卡諾圖有64個單元格，它們被分成4個16個方格的塊。卡諾圖上的每個單元格代表一個最小項或最大項。對於6變數卡諾圖，變數A和B的值在每個16個方格的塊中對所有最小項（或最大項）保持不變。

六變數卡諾圖的64個單元格分為4個塊，如下所示：

塊1 - 這是左上角的塊。此塊代表最小項m₀到m₁₅（或最大項M₀到M₁₅）。在此塊中，變數A為0，變數B也為0。

塊2 - 這是右上角的塊。此塊代表最小項m₁₆到m₃₁（或最大項M₁₆到M₃₁）。在此塊中，變數A為0，變數B為1。

塊3 - 這是左下角的塊。此塊代表最小項m₃₂到m₄₇（或最大項M₃₂到M₄₇）。在此塊中，變數A為1，變數B為0。

塊4 - 這是右下角的塊。此塊代表最小項m₄₈到m₆₃（或最大項M₄₈到M₆₃）。在此塊中，變數A為1，變數B也為1。

在簡化過程中，6變數卡諾圖可能包含2個方格、4個方格、8個方格、16個方格、32個方格或64個方格，這涉及卡諾圖的所有四個塊。

在六變數卡諾圖中，當一個塊疊加在另一個塊的頂部，該塊位於第一個塊的上方、下方或旁邊，並且方格相互重合時。則認為這兩個塊中的方格相鄰。同樣重要的是要注意，對角線元素，例如m₁₀和m₅₈、m₁₅和m₆₃、m₁₈和m₃₄、m₂₉和m₄₅，彼此不相鄰。

圖2顯示了六變數SOP卡諾圖。

圖3顯示了六變數POS卡諾圖。

現在，讓我們瞭解如何利用六變數卡諾圖透過已解決的數值示例來最小化六變數布林函式。

示例1

使用卡諾圖最小化以下6變數布林函式。

$$f = \sum m(1, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 28, 30, 33, 35, 36, 38, 41, 43, 44, 46, 49, 51, 52, 54, 57, 59, 60, 62)$$

解答

給定布林函式的6變數SOP卡諾圖表示如圖4所示。

此函式的化簡按照以下步驟進行：

卡諾圖中沒有孤立的1。

最小項m₁與最小項m₃、m₉、m₁₁、m₁₇、m₁₉、m₂₅、m₂₇、m₃₃、m₃₅、m₄₁、m₄₃、m₄₉、m₅₁、m₅₇和m₅₉構成一個16方格。將其合併，讀作：

$$ \bar{D}F $$

最小項m₄與最小項m₆、m₁₂、m₁₄、m₂₀、m₂₂、m₂₈、m₃₀、m₃₆、m₃₈、m₄₄、m₄₆、m₅₂、m₅₄、m₆₀和m₆₂構成一個16方格。將其合併，讀作：

$$ \bar{F}D $$

最小項m₅可以與最小項m₄、m₂₀和m₂₁構成一個4方格，或者與m₁、m₁₇和m₂₁構成一個4方格。我們將選擇與最小項m₄、m₂₀和m₂₁構成4方格，讀作：

$$ \bar{A}\bar{C}D\bar{E} $$

最小項m₂₁與最小項m₁₇、m₁₉和m₂₃構成一個4方格。將其合併，讀作：

$$ \bar{A}B\bar{C}F $$

最小項m₁₅可以與最小項m₁₁或m₁₄構成一個2方格。我們將選擇與m₁₄構成2方格，讀作：

$$ \bar{A}\bar{B}CDE $$

將所有積項寫成SOP形式。

因此，最簡SOP表示式為：

$$ f(A,B,C,D,E,F) = \bar{D}F + D\bar{F} + \bar{A}\bar{C}D\bar{E} + \bar{A}B\bar{C}F + \bar{A}\bar{B}CDE $$

例2

使用卡諾圖化簡以下六變數布林函式。

$$ f = \Pi M(0, 2, 7, 8, 10, 13, 16, 18, 24, 26, 29, 31, 32, 34, 37, 39, 40, 42, 45, 47, 48, 50, 53, 55, 56, 58, 61, 63) $$

解答

給定布林函式的6變數POS卡諾圖表示如圖5所示。

此函式的化簡按照以下步驟進行：

卡諾圖中沒有孤立的0。

最大項M₀與最大項M₂、M₈、M₁₀、M₁₆、M₁₈、M₂₄、M₂₆、M₃₂、M₃₄、M₄₀、M₄₂、M₄₈、M₅₀、M₅₆、M₅₈構成一個16方格。將其合併，讀作：

$$ (D + F) $$

最大項M₃₇與最大項M₃₉、M₄₅、M₄₇、M₅₃、M₅₅、M₆₁和M₆₃構成一個8方格。將其合併，讀作：

$$ (\bar{A} + \bar{D} + \bar{F}) $$

最大項M₁₃與最大項M₂₉、M₄₅和M₆₁構成一個4方格。將其合併，讀作：

$$ (\bar{C} + \bar{D} + E + \bar{F}) $$

最大項M₃₁與M₂₉、M₆₁和M₆₃構成一個4方格。將其合併，讀作：

$$ (\bar{B} + \bar{C} + \bar{D} + \bar{F}) $$

最大項M₇與最大項M₃₉構成一個2方格。將其合併，讀作：

$$ (B + C + E + \bar{D} + \bar{E} + \bar{F}) $$

將所有和項寫成POS形式。

因此，給定布林函式的最簡POS表示式為：

$$ f(A,B,C,D,E,F) = (D + F)(\bar{A} + \bar{D} + \bar{F})(\bar{C} + \bar{D} + E + \bar{F})(\bar{B} + \bar{C} + \bar{D} + \bar{F})(B + C + E + \bar{D} + \bar{E} + \bar{F}) $$

這就是關於六變數卡諾圖及其在布林函式化簡中的應用的全部內容。嘗試解決以下練習題，以精通六變數卡諾圖及其在化簡布林表示式中的應用。

卡諾圖數值題

問1 - 使用卡諾圖以SOP形式化簡以下六變數布林函式。

$$ f(A,B,C,D,E,F) = \sum m(1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 24, 25, 26, 31, 32, 34, 36, 37, 39, 40, 42, 45, 49, 50, 53, 54, 57, 60, 61, 63) $$

問2 - 使用卡諾圖以POS形式化簡以下六變數布林函式。

$$ f(A,B,C,D,E,F) = \Pi M(0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 22, 25, 26, 27, 29, 30, 32, 33, 35, 36, 37, 39, 40, 41, 42, 45, 47, 48, 50, 52, 53, 55, 56, 58, 59, 60, 62) $$