布林代數中的最小項和最大項

任何布林函式或邏輯表示式都可以用規範/標準的積之和形式或規範/標準的和之積形式表示。邏輯表示式的標準積之和形式包含不同的積項相加，每個積項稱為最小項。另一方面，邏輯表示式的標準和之積形式包含不同的和項相乘，每個和項稱為最大項。在本文中，我們將討論最小項和最大項。

什麼是最小項？

當布林函式或邏輯表示式以SSOP（標準積之和）形式或規範形式表示時，表示式的每一項稱為最小項。

換句話說，n個變數的邏輯表示式的積項，其中包含每個n個變數的補或非補形式，稱為最小項。

最小項通常表示為mi，其中i是0到2^(n-1)之間的整數。這裡，“n”是表示式中變數的數量。因此，最小項可以表示為m₀、m₁、m₂、m₃... 這裡，字尾是變數組合的十進位制程式碼。

在最小項中，如果變數的值等於0，則該變數將以補形式出現。如果變數的值等於1，則該變數將以非補形式出現。

現在，讓我們考慮一些示例來了解如何用最小項表示邏輯表示式。

對於2個變數（A和B）的邏輯表示式，可能的最小項為：

$$\mathrm{m_{0} \: = \: \overline{A} \: \overline{B}}$$

$$\mathrm{m_{1} \: = \: \overline{A}B}$$

$$\mathrm{m_{2} \: = \: A\overline{B}}$$

$$\mathrm{m_{3} \: = \: AB}$$

對於3個變數（A、B和C）的邏輯表示式，可能的最小項為：

$$\mathrm{m_{0} \: = \: \overline{A} \: \overline{B} \: \overline{C}}$$

$$\mathrm{m_{1} \: = \: \overline{A} \: \overline{B}C}$$

$$\mathrm{m_{2} \: = \: \overline{A}B \: \overline{C}}$$

$$\mathrm{m_{3} \: = \: \overline{A}BC}$$

$$\mathrm{m_{4} \: = \: A\overline{B} \: \overline{C}}$$

$$\mathrm{m_{5} \: = \: A\overline{B}C}$$

$$\mathrm{m_{6} \: = \: AB\overline{C}}$$

$$\mathrm{m_{7} \: = \: ABC}$$

這裡，我們可以看到一個有兩個變數的邏輯函式有四個（2² = 4）個最小項，而一個有三個變數的邏輯函式有八個（2³ = 8）個最小項。補形式的變數（用變數上的橫線表示）的值等於0，非補形式的變數的值等於1。

當布林函式或邏輯表示式以SPOS（標準和之積）形式或規範形式表示時，表示式的每一項稱為最大項。

換句話說，n個變數的邏輯表示式的和項，其中包含每個“n”變數的補或非補形式，稱為最大項。

最大項通常表示為Mi，其中“i”是0到2^(n-1)之間的整數。這裡，“n”是邏輯表示式中變數的總數。因此，邏輯表示式的最大項可以表示為M₀、M₁、M₂... 其中字尾表示其組合的十進位制程式碼。

在最大項的情況下，如果變數的值等於1，則該變數將以補形式寫入；如果變數的值等於0，則該變數將以非補形式寫入。

現在，讓我們瞭解如何用最大項的形式表示邏輯函式。

對於2個變數（A和B）的布林函式，可能的最大項為：

$$\mathrm{m_{0} \: = \: \lgroup A \: + \: B \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{1} \: = \: \lgroup A \: + \: \overline{B} \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{2} \: = \: \lgroup \overline{A} \: + \: B \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{3} \: = \: \lgroup \overline{A} \: + \: \overline{B} \rgroup}$$

對於3個變數（A、B、C）的布林表示式，可能的最大項為：

$$\mathrm{m_{0} \: = \: \lgroup A \: + \: B \: + \: C \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{1} \: = \: \lgroup A \: + \: B \: + \: \overline{C} \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{2} \: = \: \lgroup A \: + \: \overline{B} \: + \: C \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{3} \: = \: \lgroup A \: + \: \overline{B} \: + \: \overline{C} \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{4} \: = \: \lgroup \overline{A} \: + \: B \: + \: C \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{5} \: = \: \lgroup \overline{A} \: + \: B \: + \: \overline{C} \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{6} \: = \: \lgroup \overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: C \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{7} \: = \: \lgroup \overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: \overline{C} \rgroup}$$

這裡，從這兩個分別具有2個變數和3個變數的邏輯表示式中，我們可以看到一個有兩個變數的邏輯函式有四個（2² = 4）個最大項，而一個有三個變數的邏輯函式有八個（2³ = 8）個最大項。在這種情況下，非補形式的變數（用變數上的橫線表示）的值等於0，補形式的變數的值等於1。

本文主要討論布林代數中的最小項和最大項。從以上討論中，我們可以得出結論：最小項是邏輯表示式中的積項，當表示式以標準與或式（SSOP）表示時。另一方面，最大項是邏輯表示式中的和項，其中邏輯表示式以標準或與式（SPOS）表示。

最小項和最大項的共同點是它們都包含邏輯函式的每個“n”個變數。

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