數位電子 - 閾值邏輯

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在前面的章節中，我們已經使用邏輯閘實現了各種組合電路。除了非門之外，其餘所有邏輯閘都至少有兩個輸入和一個輸出。類似地，閾值門也至少包含一個輸入和一個輸出。

此外，它還為每個輸入分配了相應的權重和一個閾值。這些權重和閾值可以是任何有限的實數。

閾值門的原理

假設閾值門的輸入為X₁、X₂、X₃、…、X_n。這些輸入對應的權重為W₁、W₂、W₃、…、W_n。閾值門的符號如下圖所示。

閾值門用一個圓圈表示，它具有'n'個輸入，從X₁到X_n，以及一個輸出Y。這個圓圈被分成兩部分。一部分表示對應於輸入的權重，另一部分表示閾值T。

輸入與對應權重的乘積之和稱為加權和。如果這個加權和大於或等於閾值T，則輸出Y將等於1。否則，輸出Y將等於0。

數學上，我們可以將閾值門的輸入和輸出之間的關係寫成如下。

$$\mathrm{Y \: = \: 1 \:\: if \: \: W_{1}X_{1} \: + \: W_{2}X_{2} \: + \: W_{3}X_{3} \: + \: \dotso \: + \: W_{n}X_{n} \: \geq \: T}$$

否則，𝑌 = 0。

因此，我們只需更改權重和/或閾值T的值，就可以實現各種邏輯閘和布林函式。

示例

讓我們找到以下閾值門的簡化布林函式。

該閾值門具有三個輸入X₁、X₂、X₃和一個輸出Y。

對應於輸入X₁、X₂和X₃的權重分別為W₁ = 2、W₂ = 1和W₃ = -4。

閾值的值為T = -1。

閾值門的加權和為

$$\mathrm{W \: = \: W_{1}X_{1} \: + \: W_{2}X_{2} \: + \: W_{3}X_{3}}$$

將給定的權重代入上述方程。

$$\mathrm{\Rightarrow \: W \: = \: 2X_{1} \: + \: X_{2} \: − \: 4X_{3}}$$

如果W ≥ −1，則閾值門的輸出Y將為'1'，否則將為'0'。

下表顯示了所有可能的輸入組合的輸入和輸出之間的關係。

從上表可以看出，輸出Y的布林函式可以寫成

$$\mathrm{Y \: = \: \sum m( 0,2,4,6,7)}$$

使用3變數卡諾圖對該布林函式進行化簡，如下圖所示。

因此，給定閾值門的簡化布林函式為Y = X₃' + X₁ X₂。

閾值函式的綜合

閾值門也稱為通用門，因為我們可以使用閾值門來實現任何布林函式。有時，使用單個閾值門可能無法實現某些邏輯閘和布林函式。在這種情況下，我們可能需要多個閾值門。

使用單個閾值門實現布林函式，請遵循以下步驟。

步驟1 - 為給定的布林函式制定一個真值表。

步驟2 - 在上述真值表中，新增（包含）一列，該列給出加權和與閾值之間的關係。

步驟3 - 如以下所述，為每種輸入組合編寫加權和與閾值之間的關係。

• 如果布林函式的輸出為1，則對於這些輸入組合，加權和將大於或等於閾值。
• 如果布林函式的輸出為0，則對於這些輸入組合，加權和將小於閾值。

步驟4 - 選擇權重和閾值的值，使它們滿足上表最後一列中的所有關係。

步驟5 - 使用這些權重和閾值繪製閾值門的符號。

示例

讓我們使用單個閾值門來實現以下布林函式。

$$\mathrm{Y( X_{1},X_{2},X_{3})\:=\: \sum m ( 0,2,4,6,7)}$$

給定的布林函式是一個三變數函式，以最小項之和的形式表示。該函式的真值表如下所示。

現在，讓我們在上述真值表中新增（包含）一列。最後一列包含每種輸入組合的加權和(W)與閾值(T)之間的關係。

以下是上表中的結論。

• 根據第一個關係，閾值應為零或負數。
• 根據第一和第二關係，W₃的值應為負數。
• 根據第五和第三關係，W₁和W₂的值應大於或等於閾值。
• 根據第四關係，W₂應大於W₃。

根據以上結論，我們可以為權重和閾值選擇以下值。

W₁ = 2，W₂ = 1，W₃ = -4和T = -1

具有上述值的閾值門符號如下所示。

因此，該閾值門實現了給定的布林函式，$\mathrm{Y( X_{1}, X_{2},X_{3}) \:=\: \sum m (0,2,4,6,7)}$。