數位電子技術 - 二進位制算術

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二進位制算術是數位電子技術和計算機工程領域的基本概念之一。它基本上是二進位制數的數學運算，允許對二進位制數執行各種算術運算。我們知道二進位制數系統有兩個數字，即0和1，它們用於表示數字系統的開或關狀態。因此，二進位制算術構成了數字計算的基礎。

在本章中，我們將討論以下四個主要的二進位制算術運算：

• 二進位制加法
• 二進位制減法
• 二進位制乘法
• 二進位制除法

讓我們詳細討論每個二進位制算術運算，並附帶解題示例。

二進位制加法

在二進位制算術中，將兩個二進位制數相加的過程稱為二進位制加法。其中，二進位制數僅由0和1組成。在二進位制加法中，當和大於1時會產生進位。

二進位制加法規則

兩個二進位制數的加法根據以下二進位制算術規則進行：

$$\mathrm{0 \: + \: 0 \: = \: 0}$$

$$\mathrm{0 \: + \: 1 \: = \: 1}$$

$$\mathrm{1 \: + \: 0 \: = \: 1}$$

$$\mathrm{1 \: + \: 1 \: = \: 10 \: (和 \: = \: 0 \: \& \: 進位 \: = \: 1)}$$

讓我們來看一些例子來理解二進位制加法。

例1

將兩個二進位制數1101和1110相加。

解答

給定二進位制數的二進位制加法如下所示：

解釋

將1（第一個數的最右位）和0（第二個數的最右位）相加。結果為1 + 0 = 1（因此，將1寫為和位）。

將0（第一個數的第二右位）和1（第二個數的第二右位）相加。結果為0 + 1 = 1（將1寫為和位）。

將1（第一個數的第三右位）和1（第二個數的第三右位）相加。結果為1 + 1 = 10（將0寫為和，1寫為進位）。

將1（第一個數的最左位）、1（第二個數的最左位）和1（進位）相加。結果為1 + 1 + 1 = 11（將1寫為和，1寫為進位）。

將最後的進位1寫在和中。

因此，結果是11011。

例2

將1010和11011相加。

解答

給定數字的二進位制加法解釋如下：

解釋

將0（第一個數的最右位）和1（第二個數的最右位）相加。結果為0 + 1 = 1（將1寫為和）。

將1（第一個數的第二右位）和1（第二個數的第二右位）相加。結果為1 + 1 = 10（將0寫為和，1寫為進位）。

將0（第一個數的第三右位）、0（第二個數的第三右位）和1（進位）相加。結果為0 + 0 + 1 = 1（將1寫為和）。

將1（第一個數的最左位）和1（第二個數的第二左位）相加。結果為1 + 1 = 10（將0寫為和，1寫為進位）。

將1（第二個數的最左位）和1（進位）相加。結果為1 + 1 = 10（將0寫為和，1寫為最後的進位）。

因此，1010和11011的和是100101。

二進位制減法

在二進位制算術中，二進位制減法是用於求兩個二進位制數之差的數學運算。

在二進位制減法中，從最右位開始，減去二進位制數的每一位。

如果需要，可以從高位借位。

二進位制減法規則

二進位制減法根據以下二進位制算術規則進行：

$$\mathrm{0 \: – \: 0 \: = \: 0}$$

$$\mathrm{1 \: – \: 0 \: = \: 1}$$

$$\mathrm{0 \: – \: 1 \: = \: 1 \: (從下一高位借1)}$$

$$\mathrm{1 \: – \: 1 \: = \: 0}$$

讓我們來看一些例子來理解二進位制減法。

例1

從1101中減去1100。

解答

給定二進位制數的減法如下所示：

1101 – 1100 = 0001

解釋

從1（第一個數的最右位）減去0（第二個數的最右位）。結果為1 – 0 = 1（將1寫為差）。

從0（第一個數的第二右位）減去0（第二個數的第二右位）。結果為0 – 0 = 0。

從1（第二個數的第三右位）減去1（第一個數的第三右位）。結果為1 – 1 = 0。

從1（第二個數的最左位）減去1（第一個數的最左位）。結果為1 – 1 = 0。

因此，1101和1100的差是0001。

例2

從1111中減去101。

解答

給定二進位制數的減法解釋如下：

解釋

減去最右位：1 – 1 = 0

減去第二右位：1 – 0 = 1

減去第三右位：1 – 0 = 1

減去最左位：1 – 0 = 1

因此，結果是1010。

例3

從1101中減去1011。

解答

1101和1011的二進位制減法如下所示：

解釋

減去最右位：1 – 1 = 0。

減去第二右位：0 – 1 = 1。從下一高位借1。

減去第三右位：1 – 0 = 1。將借來的1給前一位。

減去最左位：1 – 1 = 0。

因此，1101和1011的差是0010。

二進位制乘法

在二進位制算術中，二進位制乘法是將兩個二進位制數相乘並得到其積的過程。

在二進位制乘法中，我們將一個二進位制數的每一位與另一個二進位制數的每一位相乘，然後將部分積相加得到最終的乘積。

二進位制乘法的規則

兩個二進位制數的乘法根據以下二進位制運算規則進行：

$$\mathrm{0 \: \times \: 0 \: = \: 0}$$

$$\mathrm{0 \: \times \: 1 \: = \: 0}$$

$$\mathrm{1 \: \times \: 0 \: = \: 0}$$

$$\mathrm{1 \: \times \: 1 \: = \: 1}$$

很明顯，二進位制乘法類似於十進位制乘法。讓我們透過一些例題來理解二進位制乘法。

例1

將 1101 乘以 11。

解答

給定數字的二進位制乘法如下所示：

解釋

將第二個數的最右位 1 與第一個數 (1101) 的每一位相乘。

現在，將部分積左移一位以進行下一次乘法。

將第二個數的最左位 1 與第一個數 (1101) 的每一位相乘。

最後，將所有部分積相加得到最終的乘積。

因此，1101 和 11 的乘積是 100111。

例2

將 11011 乘以 110。

解答

給定二進位制數的乘法如下所示：

解釋

將第二個數的最右位 (0) 與第一個二進位制數 (11011) 的每一位相乘。

將部分積左移一位。

將第二個數的次右位 (1) 與第一個二進位制數 (11011) 的每一位相乘。

再次將部分積左移一位。

將第二個數的最左位 (1) 與第一個數的每一位相乘。

然後，將所有部分積相加得到最終的乘積。

因此，11011 和 110 的乘積是 10100010。

二進位制除法

二進位制除法是用於查詢將一個二進位制數除以另一個二進位制數時的商和餘數的基本算術運算之一。

二進位制除法的規則

將一個二進位制數除以另一個二進位制數時，使用以下二進位制運算規則：

$$\mathrm{0 \: \div \: 0 \: = \: 未定義}$$

$$\mathrm{0 \: \div \: 1 \: = \: 0 \: 餘數 \: = \: 0}$$

$$\mathrm{1 \: \div \: 0 \: = \: 未定義}$$

$$\mathrm{1 \: \div \: 1 \: = \: 1 \: 餘數 \: = \: 0}$$

二進位制除法步驟

• 從被除數的最左位開始除以除數。
• 將得到的商乘以除數，然後從被除數中減去。
• 將被除數的下一位降下來，重複除法過程，直到使用所有給定的被除數位。

讓我們考慮一些例題來理解二進位制除法。

例1

將 110011 除以 11。

解答

給定二進位制數的除法解釋如下：

110011 ÷ 11 = 10001

在這個二進位制除法的例子中，得到的商是 10001，餘數是 0。

例2

將 11011 除以 10。

解答

11011 除以 10 的二進位制除法解釋如下：

11011 ÷ 10 = 1101

在這個例子中，商是 1101，餘數是 1。

結論

二進位制運算涉及對二進位制數執行的算術運算。通常，對二進位制數執行四種基本算術運算，即加法、減法、乘法和除法。

在本章中，我們解釋了執行所有四種基本二進位制算術運算的規則和步驟，並附帶例題。