數位電子 - 十六進位制運算

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什麼是十六進位制運算？

在數位電子學中，十六進位制數用於以更緊湊的形式表示二進位制資訊，因為一個十六進位制數字可以表示一組4個二進位制數字。因此，十六進位制數及其上的算術運算在數位電子領域起著至關重要的作用。

十六進位制運算是一種數學系統，允許執行算術運算，例如十六進位制或16進位制數的加法、減法、乘法和除法。

在本章中，我們將介紹以下四種基本的十六進位制運算 -

• 十六進位制加法
• 十六進位制減法
• 十六進位制乘法
• 十六進位制除法

讓我們藉助示例詳細瞭解每種十六進位制運算。

十六進位制加法

十六進位制加法是在十六進位制數上執行的基本算術運算之一，用於確定它們的和。基本上，十六進位制加法類似於十進位制加法。但在十六進位制加法中，如果和大於或等於16，則會向下一較高列生成進位。

讓我們看一些已解決的示例，以更好地理解十六進位制加法。

示例1

將(5A)₁₆和(BF)₁₆相加。

解答

給定十六進位制數的加法如下所示 -

(5A)₁₆ + (BF)₁₆ = (119)₁₆

解釋

從新增最右列的十六進位制數字開始：A + F = 10 + 15 = 25 = 16 + 9。這裡，16形成向下一列的進位。因此，和為9，向下一列進位為1。

移到下一列，並新增數字以及上一列的進位：5 + B + 1 = 5 + 11 + 1 = 17 = 16 + 1。這裡，16形成向下一列的進位。因此，和為1，進位為1。沒有剩餘數字，因此進位也將寫為和中最左邊的數字。

因此，5A和BF的十六進位制和為119。

示例2

將(ABC)₁₆和(2A9)₁₆相加。

解答

給定數字的十六進位制和如下所示 -

(ABC)₁₆ + (2A9)₁₆ = (D65)₁₆

解釋

從新增最右列的數字開始：C + 9 = 12 + 9 = 21 = 16 + 1。這裡，16形成進位。因此，和為1，進位為1。

移到下一列，並新增數字以及上一步的進位：B + A + 1 = 11 + 10 + 1 = 22 = 16 + 6。因此，和為6，向下一列進位為1。

移到最左列，並新增數字以及上一步的進位：A + 2 + 1 = 10 + 2 + 1 = 13。由於和為13，小於16，因此不會產生進位。在十六進位制數系統中，13用字母D表示。

因此，ABC和2A9的十六進位制和= D65。

這就是十六進位制加法，它涉及逐列新增給定十六進位制數的數字。執行十六進位制加法時，最需要注意的一點是，當特定列中的和大於或等於16（即十六進位制數系統的基數）時，會向下一列生成進位。

十六進位制減法

十六進位制減法是在十六進位制數上執行的基本算術運算之一，用於確定它們之間的差。

十六進位制減法類似於十進位制減法。唯一的區別在於，在十六進位制減法中，當被減數的數字小於減數的數字時，會從較高列的數字借位1，相當於16。

讓我們藉助已解決的示例來理解十六進位制減法。

示例1

從(A57)₁₆中減去(125)₁₆。

解答

給定十六進位制數的減法如下所示 -

(A57)₁₆ - (125)₁₆ = (932)₁₆

解釋

從最右列開始減去十六進位制數字：7 – 5 = 2。寫下結果。

移到下一列，並減去數字：5 – 2 = 3。寫下數字3作為差。

移到最左列，並減去數字：A – 1 = 10 – 1 = 9。寫下結果作為差。

因此，A57和125的十六進位制差為932。

示例2

從(BC5)₁₆中減去(1DA)₁₆。

解答

BC5和1DA的十六進位制減法如下所示 -

(BC5)₁₆ - (1DA)₁₆ = (9EB)₁₆

解釋

首先從最右列的數字開始減法運算：5 – A。由於 5 小於 A (10)，因此我們需要從更高位的數字借位。從下一列 (C) 借位後，數字 5 將變為 5 + 16（因為 16 等價於借 1）= 21。因此，21 – A = 11 (B)。將 B 作為差值寫下。

移到下一列並減去數字：B – D。同樣，B 小於 D，因此我們從更高位數字 B 借位。借位後，B 將變為 B + 16 = 27。因此，27 – D = 14 (E)。將數字 E 作為差值寫下。

移到最左列並減去數字：A – 1 = 9。寫下結果。

因此，BC5 和 1DA 的十六進位制差等於 9EB。

這些示例解釋了兩個十六進位制數減法的過程。現在讓我們討論十六進位制數的第三種基本算術運算，即十六進位制乘法。

十六進位制乘法

十六進位制乘法是一種算術運算，用於確定兩個十六進位制數的乘積。

十六進位制乘法類似於十進位制乘法。但是，在十六進位制乘法的情況下，當乘積大於或等於 16 時，會產生進位到下一列。

以下示例演示了兩個十六進位制數相乘的過程。

示例1

將 (A19)₁₆ 乘以 (B)₁₆。

解答

給定十六進位制數的乘法如下所示：

(A19)₁₆ 乘以 (B)₁₆ = (6F13)₁₆

解釋

將數字 (B)₁₆ 與數字 (A19)₁₆ 的每個數字相乘，並寫下結果。

首先，我們將 B 乘以 9，得到 99 = 96 + 3。因此，3 寫為乘積，96 作為進位 6 (16 × 6 = 96) 進到下一列。

然後，我們將 B 乘以 1 並將進位 6 加到乘積上。得到 17 = 16 + 1。這裡，結果是 1，進位是 1。

最後，我們將 B 乘以 A 並將上一步得到的進位 1 加到乘積上。得到 96 + 15 (十六進位制中的 F)。結果是 F，進位是 6。

因此，A19 和 B 的最終十六進位制乘積為 6F13。

示例2

將 (ABC)₁₆ 乘以 (29)₁₆。

解答

給定十六進位制數的乘法如下所示：

(ABC)₁₆ 乘以 (29)₁₆ = (1B81C)₁₆

解釋

在這個例子中，我們首先將第二個數 (29)₁₆ 的數字 (9)₁₆ 乘以數字 (ABC)₁₆ 的每個數字。寫下部分積。

然後，我們將數字 (29)₁₆ 的數字 (2)₁₆ 乘以數字 (ABC)₁₆ 的每個數字。將部分積向左移動一位後寫下。

最後，我們將所有部分積加起來得到最終結果。

因此，(ABC)₁₆ 和 (29)₁₆ 的十六進位制乘積為 (1B81C)₁₆。

十六進位制除法

十六進位制除法是我們對 16 進位制數執行的第四種基本算術運算。在十六進位制除法中，我們得到兩個結果，即商和餘數。

執行十六進位制除法需要遵循以下步驟：

• 步驟 1 - 從被除數的最左邊的數字開始除法運算。
• 步驟 2 - 將得到的商乘以除數，並從被除數中減去。
• 步驟 3 - 將被除數的下一個有效數字或數字移下來。
• 步驟 4 - 重複上述三個步驟中解釋的過程，直到被除數中的所有數字都用完。

以下示例演示了執行十六進位制除法的過程。

示例1

將 (A29)₁₆ 除以 (5)₁₆。

解答

A29 除以 5 的十六進位制除法如下所示：

在這個十六進位制除法中，我們得到了商 (208)₁₆ 和餘數 (1)₁₆。

示例2

將 (1AC)₁₆ 除以 (A)₁₆。

解答

給定數字的十六進位制除法如下所示：

在這個例子中，我們得到了商 (2A)₁₆ 和餘數 (8)₁₆。

我們解釋了執行十六進位制算術運算的直接方法。現在讓我們看看如何透過二進位制算術執行所有這四種十六進位制算術運算。

正如我們所知，每個十六進位制數字都可以表示為一組四個位，如下表所示。

現在讓我們討論透過二進位制轉換進行的十六進位制算術運算。

透過二進位制轉換進行十六進位制加法

在這種加兩個十六進位制數的方法中，我們首先將它們轉換為等效的二進位制格式，然後使用二進位制算術規則對得到的二進位制數進行加法運算，最後將最終結果轉換回十六進位制格式。

以下示例演示了透過二進位制轉換進行十六進位制加法的過程。

示例

透過二進位制轉換將 (A5C)₁₆ 和 (CCD)₁₆ 相加。

解答

將給定的十六進位制數轉換為其二進位制等效值，

(A5C)₁₆ = (1010 0101 1100)₂

(CCD)₁₆ = (1100 1100 1101)₂

將得到的二進位制數相加，

最後，將二進位制和轉換為其等效的十六進位制格式以獲得最終結果。

(0001 0111 0010 1001)₂ = (1729)₁₆

因此，(A5C)₁₆ 和 (CCD)₁₆ 的十六進位制和為 (1729)₁₆。

透過二進位制轉換進行十六進位制減法

要透過二進位制轉換減去兩個十六進位制數，我們首先將給定的十六進位制數轉換為其二進位制等效值。然後，根據二進位制算術規則減去它們。最後，將最終結果轉換回十六進位制格式。

以下是一個演示透過二進位制轉換進行十六進位制減法的過程的示例。

示例

使用二進位制算術從 (FEA)₁₆ 中減去 (AC2)₁₆。

解答

將給定的十六進位制數轉換為其二進位制等效值，

(FEA)₁₆ = (1111 1110 1010)₂

(AC2)₁₆ = (1010 1100 0010)₂

減去得到的二進位制數，

將差值轉換回十六進位制以獲得最終結果，

(0101 0010 1000)₂ = (528)₁₆

因此，(FEA)₁₆ 和 (AC2)₁₆ 的十六進位制差為 (528)₁₆。

透過二進位制轉換進行十六進位制乘法

我們還可以透過將兩個十六進位制數轉換為其二進位制等效值來相乘。為此，我們首先將給定的十六進位制數轉換為其二進位制等效值，然後根據二進位制算術規則將二進位制數相乘，並將結果轉換回十六進位制以獲得最終結果。

以下示例演示了透過二進位制轉換將十六進位制數相乘的過程。

示例

透過二進位制轉換將 (A9C)₁₆ 乘以 (B)₁₆。

解答

將給定的十六進位制數轉換為其等效的二進位制，

(A9C)₁₆ = (1010 1001 1100)₂

(B)₁₆ = (1011)₂

將二進位制數相乘，

將乘積轉換回十六進位制格式，

(0111 0100 1011 0100)₂ = (74B4)₁₆

因此，A9C 和 B 的十六進位制乘積為 74B4。

透過二進位制轉換進行十六進位制除法

十六進位制除法也可以使用二進位制算術執行。在這種方法中，首先，我們將給定的十六進位制數轉換為其二進位制等效值，然後根據二進位制除法的規則進行除法運算。最後，我們將結果從二進位制格式轉換為十六進位制以獲得最終結果。

讓我們藉助一個示例瞭解使用二進位制算術進行的十六進位制除法。

示例

使用二進位制算術將 (AB8)₁₆ 除以 (A)₁₆。

解答

將給定的十六進位制數轉換為其二進位制等效值，

(AB8)₁₆ = (1010 1011 1000)₂

(A)₁₆ = (1010)₂

將得到的二進位制數相除，

將商和餘數轉換為十六進位制，

商 = (0001 0001 0010)₂ = (112)₁₆

餘數 = (0100)₂ = (4)₁₆

結論

在本章中，我們解釋了十六進位制數的四種基本算術運算（加法、減法、乘法和除法）。我們還討論了十六進位制算術運算的二進位制方法。