卡諾圖中的無關項

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卡諾圖或卡諾圖是一種簡化布林表示式的圖形方法。卡諾圖由相鄰方塊或單元格的排列組成，其中每個單元格代表以和或積的形式表示的變數的特定組合。

在卡諾圖方法中，存在一個有用的條件，即無關項條件，它有助於簡化布林函式。無關項條件使卡諾圖中變數的組合變得容易。在本教程中，我們將藉助解決的示例來了解卡諾圖化簡中的“無關項”概念。

有時，在布林表示式的某些輸入組合中，輸出的值未指定，這可能是由於無效的輸入組合或輸出的精確值無關緊要。這些未指定布林函式值的輸入組合稱為無關項組合。無關項組合也稱為可選組合。在卡諾圖中，無關項組合用“X”或“d”或“ϕ”表示。

例如，在8421二進位制碼中，二進位制組合1010、1011、1100、1101、1110和1111是無效項，它們對應的輸出是無關項組合。類似地，在餘3碼中，組合0000、0001、0010、1101、1110和1111不會出現，因此這些稱為無關項組合。

當我們處理SOP（積之和）卡諾圖時，如果每個無關項有助於表示式的化簡，則將其視為1，否則將其視為0並保留。

另一方面，當我們使用POS（和之積）卡諾圖時，如果每個無關項有助於表示式的化簡，則將其視為0，否則將其視為1並保留。

此外，我們可以透過保留無關項，並將SOP標準形式（SSOP）表示式中缺少的最小項寫為POS標準形式（SPOS）表示式中的最大項，將帶有無關項的SOP標準形式（SSOP）表示式轉換為POS標準形式（SPOS）表示式。

類似地，我們可以透過保留SPOS表示式中的無關項，並將SPOS表示式中缺少的最大項寫為SSOP表示式中的最小項，將帶有無關項的POS標準形式（SPOS）表示式轉換為SOP標準形式（SSOP）表示式。

現在，讓我們討論一些已解決的示例，以瞭解卡諾圖中的無關項條件。

示例1

使用卡諾圖將以下4變數布林表示式最小化為SOP形式。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C,D\rgroup=\sum m \lgroup 0,1,4,5,6,10,13\rgroup +d \lgroup 2,3 \rgroup}$$

解決方案

給定布林函式的SOP卡諾圖表示如圖1所示。

如給定表示式所示，有兩個無關項，在卡諾圖上用X表示。

解釋

表示式的化簡按以下步驟進行：

• 最小項m₀、m₁、m₄和m₅形成一個4方格。將其組合並讀取為$\mathrm{\lgroup \bar{A} \: \bar{C}\rgroup}$。
• 最小項m₁₀和m₁₁與兩個無關項m₂和m₃形成一個4方格。將其組合並讀取為$\mathrm{\bar{B}C}$。
• 最小項m₀、m₄、m₆和無關項m₂一起形成一個4方格。將其組合並讀取為$\mathrm{\bar{A} \: \bar{D}}$。
• 最小項m₅和m₁₃形成一個2方格。將其組合並讀取為$\mathrm{B\bar{C}D}$。
• 最後，將所有積項寫成SOP形式。

因此，最小的布林表示式為：

$$\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C,D \rgroup \: = \: \bar{A} \: \bar{C} \: + \: \bar{B}C \: + \: \bar{A} \: \bar{D} \: + \: B \bar{C}D}$$

示例2

使用卡諾圖將以下4變數布林表示式最小化為POS形式。

$$\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C,D \rgroup \: = \: \prod M \lgroup 1,5,6,12,13,14 \rgroup \: + \: d \lgroup 2,4 \rgroup}$$

解決方案

給定布林函式的POS卡諾圖表示如圖2所示。

表示式中有兩個無關項，在卡諾圖上用X表示。

解釋

給定函式的化簡按以下步驟進行：

• 最大項M₅、M₁₂和M₁₃以及無關項M₄形成一個4方格。將其組合並讀取為$\mathrm{\bar{B} \: + \: C}$。
• 最大項M₆、M₁₂和M₁₄以及無關項M₄形成一個4方格。將其組合並讀取為$\mathrm{\bar{B} \: + \: D}$。
• 最大項M₁和M₅形成一個2方格。將其組合並讀取為$\mathrm{A \: + \: C \: + \: \bar{D}}$
• 將所有和項寫成POS形式。

因此，最小的布林表示式為：

$$\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C,D \rgroup \: = \: \lgroup \bar{B} \: + \: C \rgroup \: + \: \lgroup \bar{B} \: + \: D \rgroup \: + \: \lgroup A \: + \: C \: + \: \bar{D} \rgroup}$$

結論

這就是卡諾圖中的無關項條件。正如我們在本教程的前面部分所討論的，無關項條件是一個重要且強大的概念，它有助於使用卡諾圖最小化布林函式。