布林表示式的最大項表示

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卡諾圖或卡諾圖是一種簡化複雜布林函式或表示式的系統方法。卡諾圖基本上是一個圖表或圖表，它包含一定數量的相鄰單元格。每個單元格代表產品和（SOP）形式或和之積（POS）形式中變數的特定組合。

但是，我們可以使用卡諾圖來簡化任何變數數的布林函式，但是對於涉及五個或更多變數的函式，它會變得很繁瑣。在實際應用中，我們通常使用卡諾圖來簡化最多六個變數的布林函式。

n個變數的布林函式可以在積之和（SOP）形式中具有2ⁿ個可能的乘積項組合，或在和之積（POS）形式中具有2ⁿ個可能的和項組合。

因此，對於2個變數的布林函式，卡諾圖將有2² = 4個單元格，對於3個變數的函式，它將有2³ = 8個單元格，依此類推。

布林函式可以用兩種規範形式或標準形式表示，即SSOP（標準積之和）形式和SPOS（標準和之積）形式。

SSOP形式是指布林函式表示為積之和，其中表達式的每一項都包含函式的所有變數，這些變數以補碼或非補碼形式存在。SSOP形式邏輯表示式的每個乘積項稱為最小項。

例如，

$$\mathrm{Y \: = \: AB \: + \: \overline{A}B}$$

這裡，Y是兩個變數A和B的布林函式。項AB和AB'是函式的最小項。

在SPOS形式中，布林函式表示為和之積，其中每個和項（稱為最大項）都包含函式的所有變數，這些變數以補碼或非補碼形式存在。

例如，

$$\mathrm{Y \: = \: \lgroup A \: + \: B\rgroup \: .\: \lgroup \overline{A} \: + \: B \rgroup}$$

這裡，Y是兩個變數A和B的布林函式，項（A+B）和（A'+B）是函式的兩個最大項。

本文主要用於解釋如何在卡諾圖上以最大項形式表示布林函式。因此，讓我們討論最大項表示或在卡諾圖上繪製零。

繪製零（最大項表示）

正如我們已經討論的那樣，標準POS形式表示式中的每個和項都稱為最大項。最大項用大寫字母M表示，其下標表示該最大項的十進位制表示。

為了在卡諾圖上表示標準POS表示式，在對應於表示式中表示的最大項的單元格中繪製零，並且在對應於表示式中不存在的最大項的單元格中不進行任何條目。

現在，為了更好地理解繪製零或最大項表示的概念，讓我們討論一些已解決的示例。

示例1

在卡諾圖上繪製以下2變數布林表示式。

$$\mathrm{Y \: = \: \lgroup A \: + \: B \rgroup\lgroup A \: + \: \overline{B} \rgroup\lgroup \overline{A} \:+ \: B \rgroup}$$

解決方案

給定的布林表示式可以用最大項表示為：

$$\mathrm{Y \: = \: M_{3} \cdot M_{2} \cdot M_{1} \: = \: \prod M \lgroup 0, \: 1, \: 2 \rgroup}$$

該函式在卡諾圖上的最大項表示如圖1所示。

示例2

在卡諾圖上繪製以下3變數布林函式。

$$\mathrm{Y \: = \: \lgroup A \: + \: B \: + \: C \rgroup\lgroup \overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: C\rgroup\lgroup A \: + \: B \: + \: \overline{C}\rgroup\lgroup \overline{A} \: + \: B \: + \: \overline{C} \rgroup\lgroup \overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: \overline{C}\rgroup}$$

解決方案

給定的布林函式可以用最大項表示為：

$$\mathrm{Y \: = \: M_{0} \cdot M_{1}\cdot M_{5} \cdot M_{6} \cdot M_{7} \: = \: \prod M \lgroup 0, \: 1, \: 5, \: 6, \: 7 \rgroup}$$

該函式在卡諾圖上的最大項表示如圖2所示。

因此，這就是關於在卡諾圖上繪製零或布林表示式的最大項表示的全部內容。

教程練習題

嘗試解決以下教程練習題，以更清楚地理解這個概念。

Q1. 在卡諾圖上以最大項表示繪製以下布林表示式。

$$\mathrm{f( A, \: B) \: = \: (A \: + \: B)\cdot(\overline{A} \: + \: B).(\overline{A} \: + \: \overline{B})}$$

Q2. 在卡諾圖上以最大項表示繪製以下3變數布林函式。

$$\mathrm{f(A, \: B, \: C) \: = \: (A \: + \: B \: + \: \overline{C})\cdot(A \: + \: \overline{B} \: + \: C)\cdot( \overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: C)\cdot(\overline{A} \: + \: B \: + \: \overline{C})}$$