布林代數定律

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布林代數是一種數學工具，它處理邏輯運算和二進位制數系統。它是數位電子和計算機科學的基礎。

布林代數中的定律和規則是一組邏輯語句或表示式，所有邏輯表示式都是基於它們構建的。布林代數的每個定律都可以解釋為由邏輯電路（如邏輯閘）執行的操作。

在本章中，我們將學習布林代數的定律和規則，這些規則用於簡化邏輯函式和布林表示式。這些定律和規則是布林代數中必不可少的工具，有助於降低複雜度並最佳化數位電路和系統。

讓我們詳細瞭解布林代數的主要定律和規則，這些規則用於執行邏輯運算。

布林代數定律

下面解釋了布林代數的所有重要定律和規則。

邏輯運算規則

有三種基本的邏輯運算，即與、或和非。下表突出顯示了與這三種邏輯運算相關的規則。

這些布林代數規則可以使用邏輯閘來實現。

與定律

在布林代數中，有以下四個與定律。

• 定律1 − A · 0 = 0（此定律稱為零律）。
• 定律2 − A · 1 = A（此定律稱為恆等律）。
• 定律3 − A · A = A
• 定律4 − A · A' = 0

或定律

下面描述了四個或定律。

• 定律1 − A + 0 = A（此定律稱為零律）。
• 定律2 − A + 1 = 1（此定律稱為恆等律）。
• 定律3 − A + A = A
• 定律4 − A + A' = 1

補碼定律

在布林代數中，有以下五個補碼定律。

• 定律1 − 0' = 1
• 定律2 − 1' = 0
• 定律3 − 如果 A = 0，則 A' = 1
• 定律4 − 如果 A = 1，則 A' = 0
• 定律5 − (A')' = A（這稱為雙重補碼定律）

交換律

在布林代數中，有以下兩個交換律。

定律1 − 根據此定律，A OR B 運算產生的輸出與 B OR A 運算產生的輸出相同，即

A + B = B + A

因此，變數的順序不影響或運算。

此定律可以擴充套件到任意數量的變數。例如，對於三個變數，它將是：

A + B + C = C + B + A = B + C + A = C + A + B

定律2 − 根據此定律，A AND B 運算的輸出與 B AND A 運算的輸出相同，即

A · B = B · A

此定律指出，變數進行與運算的順序不影響結果。

我們可以將此定律擴充套件到任意數量的變數。例如，對於三個變數，我們得到：

A · B · C = A · C · B = C · B · A = C · A · B

結合律

結合律定義了變數分組的方式。有兩個結合律，如下所述。

定律1 − 表示式 A OR B 與 C 進行或運算的結果與 A 與 B OR C 進行或運算的結果相同，即

(A + B) + C = A + (B + C)

此定律可以擴充套件到任意數量的變數。例如，對於4個變數，我們得到：

(A + B + C) + D = A + (B + C + D) = (A + B) + (C + D)

定律2 − 表示式 A AND B 與 C 進行與運算的結果與表示式 A 與 B AND C 進行與運算的結果相同，即

(A · B) · C = A · (B · C)

我們可以將此定律擴充套件到任意數量的變數。例如，如果我們有4個變數，那麼

(ABC)D = A(BCD) = (AB)·(CD)

分配律

在布林代數中，有以下兩個分配律，允許對錶達式進行乘法或因式分解。

定律1 − 根據此定律，我們對多個變數進行或運算，然後將結果與單個變數進行與運算。

它給出的結果與將單個變數與多個變數中的每一個進行與運算，然後將乘積項進行或運算的表示式的結果相同，即

A · (B + C) = AB + AC

我們可以將此定律擴充套件到任意數量的變數。例如：

A(BC + DE) = ABC + ADE

AB(CD + EF) = ABCD + ABEF

定律2 − 根據此定律，如果我們對多個變數進行與運算，然後將結果與單個變數進行或運算。

它給出的結果與將單個變數與多個變數中的每一個進行或運算，然後將和項進行與運算的結果相同，即

A + BC = (A + B)(A + C)

證明 − 此定律的證明如下所示：

RHS = (A + B)(A + C)

= AA + AB + AC + BC

= A + AB + AC + BC

= A (1 + B + C) + BC

因為：

1 + B + C = 1 + C = 1

所以：

A · 1 + BC = A + BC = LHS

冗餘文字規則 (RLR)

在此規則下，布林代數中有兩個定律，這裡解釋如下。

定律1 − 根據此定律，如果我們對一個變數與該變數的補碼和另一個變數的與運算進行或運算。那麼，它與兩個變數的或運算相同，即

A + A’B = A + B

證明 − 此定律的證明如下所示：

LHS = A + A’B = (A + A’)(A + B)

= 1 · (A + B) = A + B = RHS

定律2 − 根據此定律，如果我們對一個變數與該變數的補碼和另一個變數的或運算進行與運算，則它等效於我們對兩個變數進行與運算，即

A(A’ + B) = AB

證明 − 此定律可以證明如下：

LHS = A(A’ + B) = AA’ + AB

= 0 + AB = AB = RHS

這兩個定律都表明，出現在另一個術語中的術語的補碼是冗餘的。因此，該規則被稱為冗餘文字規則。

冪等律

術語“冪等性”是“相同值”的同義詞。布林代數中有兩個冪等律。它們是：

定律1 - 根據此定律，變數與自身進行與運算等於該變數本身，即：

A · A = A

定律2 - 根據此定律，變數與自身進行或運算等於該變數本身，即：

A + A = A

吸收律

布林代數中有兩個吸收律，下面將對其進行解釋。

定律1 - 根據此定律，如果我們將一個變數與該變數和另一個變數的與運算進行或運算，則結果等於該變數本身，即：

A + A · B = A

證明過程如下：

左邊 = A + A · B = A · (1 + B)

= A · 1 = A = 右邊

定律2 - 根據此定律，變數與該變數和另一個變數的或運算進行與運算等價於該變數本身，即：

A(A + B) = A

證明過程如下：

左邊 = A(A + B) = AA + AB

= A + AB = A(1 + B) = A · 1 = A = 右邊

因此，此定律證明了如果一個項出現在另一個項中，則後一個項將變得冗餘，可以從表示式中刪除。

德摩根定理

在布林代數中，德摩根定理定義了兩個定律，下面將對其進行解釋。

定律1 - 根據此定律，變數之和的補碼等價於每個變數的補碼的乘積，即：

$$\mathrm{\overline{A+B} \: = \: \bar{A}\cdot\bar{B}}$$

此定律可以擴充套件到任意數量的變數。

定律2 - 德摩根定理的第二定律指出，變數之積的補碼等價於每個變數的補碼之和，即：

$$\mathrm{\overline{AB} \: = \: \bar{A}\: + \:\bar{B}}$$

此定律也可以擴充套件到任意數量的變數。

結論

在本章中，我們解釋了布林代數中使用所有重要的定律、規則和定理。這些規則和定律廣泛用於簡化數位電子中的邏輯表示式。

基本上，所有這些規則都提供了一套簡化複雜布林函式的工具，並使數位電路更簡單。