數位電子技術中的五變數卡諾圖

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卡諾圖或卡諾圖是一種簡化技術，用於最小化給定的複雜布林函式。卡諾圖或卡諾圖是一個圖表或表格，它由相鄰單元格的排列組成，其中卡諾圖的每個單元格表示或與式中變數的特定組合。卡諾圖可用於簡化涉及任意數量變數的布林函式。但是，對於涉及五個或更多變數的表示式，使用卡諾圖簡化布林函式變得非常複雜。因此，在實際應用中，卡諾圖僅限於六個變數。

卡諾圖中的單元格數量取決於給定布林函式中變數的數量。卡諾圖將有2ⁿ個單元格或方格，其中n是布林表示式中變數的數量。因此，對於一個二變數函式，卡諾圖將有2² = 4個單元格，對於一個三變數布林函式，卡諾圖將有2³ = 8個單元格，對於一個四變數布林函式，卡諾圖將有2⁴ = 16個單元格，依此類推。

在這裡，我們將討論五變數卡諾圖，並將其用於簡化5個變數的布林函式。所以讓我們從五變數卡諾圖的介紹開始。

五變數卡諾圖

五變數卡諾圖用於將5變數布林表示式最小化到其簡化形式。以下是五變數卡諾圖的重要特徵：

五變數卡諾圖有32 (2⁵)個單元格或方格，並且卡諾圖的每個單元格表示布林表示式的最小項或最大項。

如果給定的布林函式以SOP（積之和）形式表示，則五變數布林函式的最小項表示為m₀,m₁,m₂,m₃ ... m₃₁。其中，m₀對應於$\mathrm{\lgroup \overline{A} \: \overline{B} \: \overline{C} \: \overline{D} \: \overline{E} \rgroup}$，m₁對應於$\mathrm{\lgroup \overline{A} \: \overline{B} \: \overline{C} \: \overline{D} E \rgroup}$，… 以及m₃₁對應於$\mathrm{\lgroup ABCDE \rgroup}$。

另一方面，如果5變數布林函式以POS（和之積）形式表示，則函式的最大項表示為M₀, M₁, M₂,… M₃₁。

其中，M0表示

$$\mathrm{\lgroup A \: + \: B \: + \: C \: + \: D \: + \: E \rgroup}$$

M₁表示

$$\mathrm{\lgroup A \: + \: B \: + \: C \: + \: D \: + \: \overline{E} \rgroup}$$

M₃₁表示

$$\mathrm{\lgroup \overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: \overline{C} \: + \: \overline{D} \: + \: \overline{E} \rgroup}$$.

五變數卡諾圖的32個單元格分為兩個16個單元格的塊，它們並排排列。左塊表示從m₀到m₁₅（或M₀到M₁₅. Wheck, thck, th）的最小項（或最大項）。在左塊中，第一個變數（設為A）為0。右塊表示從m₁₆到m₃₁（或M₁₆到M₃₁）的最小項（或最大項），在此塊中A為1。

在五變數卡諾圖中，我們可以透過包含其兩個塊來形成2方格、4方格、8方格、16方格或32方格。此外，當一個塊疊加在另一個塊的頂部時，這兩個塊中的方格被認為是相鄰的。

五變數SOP卡諾圖如圖1所示。

五變數POS卡諾圖如圖2所示。

現在，讓我們討論一些已解決的示例，以瞭解5變數卡諾圖在簡化給定的5變數布林函式（以SOP形式或POS形式）中的應用。

示例1

使用五變數卡諾圖，將以下5變數布林函式以SOP形式簡化。

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D,E \rgroup \: = \: \sum \: m \lgroup 0,1,2,4,7,8,12,14,15,16,17,18,20,24,28,30,31 \rgroup }$$

解決方案

給定SOP布林函式的SOP卡諾圖表示如圖3所示。

說明

使用五變數卡諾圖（圖3）最小化給定的5變數布林函式，步驟如下：

卡諾圖中沒有孤立的1。

最小項m₀可以與m₄、m₈、m₁₂、m₁₆、m₂₀、m₂₄和m₂₈形成一個8方格。因此，將其標記並讀取為：

$$\mathrm{\lgroup \overline{D} \: \overline{E} \rgroup} $$

最小項m₀、m₁、m₁₆和m₁₇形成一個4方格。將其標記並讀取為：

$$\mathrm{\lgroup \overline{B} \: \overline{C} \: \overline{D} \rgroup} $$

最小項 m₀、m₂、m₁₆ 和 m₁₈ 構成一個 4 方塊。將其合併並讀取為 -

$$\mathrm{\lgroup \overline{B} \: \overline{C} \: \overline{E} \rgroup}$$

最小項 m₇ 和 m₁₅ 構成一個 2 方塊。將其合併並讀取為 -

$$\mathrm{\lgroup \overline{A}CDE \rgroup} $$

最小項 m₁₄、m₁₅、m₃₀ 和 m₃₁ 構成一個 4 方塊。將其合併並讀取為 -

$$\mathrm{\lgroup BCD \rgroup} $$

最後，將所有乘積項寫成 SOP 形式。

因此，給定 5 變數布林函式的最小 SOP 表示式為：

$$\mathrm{f(A,B,C,D,E) \ = \: \overline{A}CDE \: + \: \overline{B} \: \overline{C} \: \overline{D} \: + \: \overline{B} \: \overline{C} \: \overline{E} \: + \: BCD \: + \: \overline{D} \: \overline{E}}$$

示例 2

使用五變數卡諾圖，將以下 5 變數布林函式最小化成 POS 形式。

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D,E \rgroup \: = \: \prod \: M \lgroup 3,5,6,9,10,11,13,19,21,22,23,25,26,27,29 \rgroup}$$

解決方案

給定 POS 布林函式的 POS 卡諾圖表示如圖 4 所示。

說明

使用五變數卡諾圖（圖 4）對給定 5 變數布林函式進行最小化，按照以下步驟進行 -

卡諾圖中沒有孤立的 0。

最大項 M₉、M₁₃、M₂₅ 和 M₂₉ 構成一個 4 方塊。將其合併並讀取為 -

$$\mathrm{\lgroup \overline{B} \: + \: D \: + \: \overline{E} \rgroup} $$

最大項 M₃、M₁₁、M₁₉ 和 M₂₇ 構成一個 4 方塊。將其合併並讀取為 -

$$\mathrm{\lgroup C \: + \: \overline{D} \: + \: \overline{E} \rgroup} $$

最大項 M₅、M₁₃、M₂₁ 和 M₂₉ 構成一個 4 方塊。將其合併並讀取為 -

$$\mathrm{\lgroup \overline{C} \: + \: D \: + \: \overline{E} \rgroup}$$

最大項 M₆ 和 M₂₂ 構成一個 2 方塊。將其合併並讀取為 -

$$\mathrm{\lgroup B \: + \: \overline{C} \: + \: \overline{D} \: + \: E \rgroup}$$

最大項 M₁₀、M₁₁、M₂₆ 和 M₂₇ 構成一個 4 方塊。將其合併並讀取為 -

$$\mathrm{\lgroup \overline{B} \: + \: C \: + \: \overline{D} \rgroup}$$

最大項 M₂₂ 和 M₂₃ 構成一個 2 方塊。將其合併並讀取為 -

$$\mathrm{\lgroup \overline{A} \: + \: B \: + \: \overline{C} \ + \: \overline{D} \rgroup}$$

最後，將所有和項寫成 POS 形式。

因此，給定五變數布林函式的最小 POS 表示式為：

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D,E \rgroup \: = \: \lgroup \overline{B} \: + \: D \: + \: \overline{E} \rgroup \lgroup C \: + \: \overline{D} \: + \: \overline{E} \rgroup \lgroup \overline{C} \: + \: D \: + \: \overline{E} \rgroup \lgroup B \: + \: \overline{C} \: + \: \overline{D} \: + \: E \rgroup \lgroup \overline{B} \: + \: C \: + \: \overline{D} \rgroup \lgroup \overline{A} \: + \: B \: + \: \overline{C} \: + \: \overline{D} \rgroup}$$

卡諾圖數值問題

嘗試解決以下數值問題，以更好地掌握使用五變數卡諾圖簡化布林表示式的技巧。

Q1. 使用卡諾圖，將以下五變數布林表示式簡化成 SOP 形式。

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D,E \rgroup \: = \: \sum m \lgroup 0,3,4,6,8,10,11,12,15,17,18,22,25,26,27,30,31 \rgroup }$$

Q2. 使用卡諾圖，將以下五變數布林表示式簡化成 POS 形式。

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D,E \rgroup \: = \: \prod \: M\lgroup 0,1,2,4,6,7,9,10,11,13,15,16,18,19,25,26,28,29,31 \rgroup }$$

結論

以上內容就是關於五變數卡諾圖的全部內容。從上述討論中，我們可以得出結論：可以使用 5 變數卡諾圖將五變數布林函式簡化成最小形式。五變數卡諾圖有 32 個方塊或單元格，從 0 到 31。這 32 個單元格被分成兩個塊，每個塊 16 個單元格。但是，五變數卡諾圖分成兩個塊的形式使其在用於最小化布林函式時略顯複雜。