規範式和標準式

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透過將兩個變數x和y與邏輯與運算組合，我們將得到四個布林積項。這些布林積項稱為最小項或標準積項。最小項為x'y'，x'y，xy'和xy。

類似地，我們將透過將兩個變數x和y與邏輯或運算組合得到四個布林和項。這些布林和項稱為最大項或標準和項。最大項為x + y，x + y'，x' + y和x' + y’。

下表顯示了2個變數的最小項和最大項的表示。

如果二進位制變數為'0'，則在最小項中將其表示為變數的反碼，在最大項中將其表示為變數本身。類似地，如果二進位制變數為'1'，則在最大項中將其表示為變數的反碼，在最小項中將其表示為變數本身。

從上表可以很容易地看出，最小項和最大項互為補碼。如果有'n'個布林變數，則將有2ⁿ個最小項和2ⁿ個最大項。

規範的SOP和POS形式

真值表由一組輸入和輸出組成。如果有“n”個輸入變數，則將有2ⁿ個可能的零和一的組合。因此，每個輸出變數的值取決於輸入變數的組合。因此，每個輸出變數對於某些輸入變數組合將為“1”，對於其他一些輸入變數組合將為“0”。

因此，我們可以透過以下兩種方式表達每個輸出變數。

• 規範SOP形式
• 規範POS形式

規範SOP形式

規範SOP形式是指規範的積之和形式。在這種形式中，每個積項都包含所有文字。因此，這些積項不過是最小項。因此，規範SOP形式也稱為最小項之和形式。

首先，確定輸出變數為1的最小項，然後對這些最小項進行邏輯或運算，以獲得對應於該輸出變數的布林表示式（函式）。此布林函式將採用最小項之和的形式。

如果有多個輸出變數，則對其他輸出變數也遵循相同的步驟。

示例

考慮以下真值表。

這裡，輸出(f)對於四種輸入組合為'1'。相應的最小項為p'qr、pq'r、pqr'、pqr。透過對這四個最小項進行邏輯或運算，我們將得到輸出(f)的布林函式。

因此，輸出的布林函式為f = p'qr + pq'r + pqr' + pqr。這是輸出f的規範SOP形式。我們還可以用以下兩種表示法表示此函式。

$$\mathrm{f \: = \: m_{3} \: + \: m_{5} \: + \: m_{6} \: + \: m_{7}}$$

$$\mathrm{f \: = \: \sum \: m\left ( 3, \:5, \:6, \:7 \right )}$$

在一個等式中，我們將函式表示為各個最小項的和。在另一個等式中，我們使用了這些最小項求和的符號。

規範POS形式

規範POS形式是指規範的和之積形式。在這種形式中，每個和項都包含所有文字。因此，這些和項不過是最大項。因此，規範POS形式也稱為最大項之積形式。

首先，確定輸出變數為0的最大項，然後對這些最大項進行邏輯與運算，以獲得對應於該輸出變數的布林表示式（函式）。此布林函式將採用最大項之積的形式。

如果有多個輸出變數，則對其他輸出變數也遵循相同的步驟。

示例

考慮前面示例的相同真值表。這裡，輸出(f)對於四種輸入組合為'0'。相應最大項為p + q + r、p + q + r'、p + q' + r、p' + q + r。透過對這四個最大項進行邏輯與運算，我們將得到輸出(f)的布林函式。

因此，輸出的布林函式為f = (p + q + r)·(p + q + r')·(p + q' + r)·(p' + q + r)。這是輸出f的規範POS形式。我們還可以用以下兩種表示法表示此函式。

$$\mathrm{f \: = \: M_{0}\cdot M_{1} \cdot M_{2} \cdot M_{4}}$$

$$\mathrm{f \: = \: \prod M\left ( 0, \: 1, \: 2, \: 4 \right )}$$

在一個等式中，我們將函式表示為各個最大項的積。在另一個等式中，我們使用了這些最大項相乘的符號。

布林函式f = (p + q + r)·(p + q + r’)·(p + q’ + r)·(p’ + q + r)是布林函式f = p'qr + pq'r + pqr' + pqr的對偶。

因此，規範的SOP和規範的POS形式是對偶的。從功能上講，這兩種形式是相同的。根據需求，我們可以使用這兩種形式中的一種。

標準SOP和POS形式

我們討論了兩種表示布林輸出的規範形式。同樣，還有兩種表示布林輸出的標準形式。這些是規範形式的簡化版本。

• 標準SOP形式
• 標準POS形式

我們將在後面的章節中討論邏輯閘。標準形式的主要優點是應用於邏輯閘的輸入數量可以最小化。有時，所需的邏輯閘總數也會減少。

標準SOP形式

標準SOP形式表示標準積之和形式。在這種形式中，每個乘積項不必包含所有文字。因此，乘積項可能是也可能不是最小項。因此，標準SOP形式是規範SOP形式的簡化形式。

我們將透過兩個步驟得到輸出變數的標準SOP形式。

• 獲取輸出變數的規範SOP形式
• 簡化上述以規範SOP形式表示的布林函式。

如果有多個輸出變數，則對其他輸出變數也遵循相同的步驟。有時，可能無法簡化規範SOP形式。在這種情況下，規範SOP形式和標準SOP形式相同。

示例

將以下布林函式轉換為標準SOP形式。

$$\mathrm{f \: = \: p'qr \: + \: pq'r \: + \: pqr' \: + \: pqr}$$

給定的布林函式採用規範SOP形式。現在，我們必須簡化此布林函式以獲得標準SOP形式。

步驟1 − 使用布林代數定理，x + x = x。這意味著，任何布林變數’n’次的邏輯或運算將等於相同的變數。因此，我們可以將最後一項pqr再寫兩次。

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: p'qr \: + \: pq'r \: + \: pqr' \: + \: pqr \: + \: pqr \: + \: pqr}$$

步驟2 − 對第1項和第4項、第2項和第5項、第3項和第6項使用分配律。

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: qr(p' + p) \: + \: pr(q' + q) \: + \: pq(r' + r)}$$

步驟3 − 使用布林代數定理，x + x' = 1 來簡化每個括號中的項。

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: qr(1) \: + \: pr(1) \: + \: pq(1)}$$

步驟4 − 使用布林代數定理，x.1 = x 來簡化上述三項。

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: qr \: + \: pr \: + \: pq}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: pq \: + \: qr \: + \: pr}$$

這是簡化的布林函式。因此，對應於給定規範SOP形式的標準SOP形式是f = pq + qr + pr

標準POS形式

標準POS形式表示標準和之積形式。在這種形式中，每個和項不必包含所有文字。因此，和項可能是也可能不是最大項。因此，標準POS形式是規範POS形式的簡化形式。

我們將透過兩個步驟得到輸出變數的標準POS形式。

• 獲取輸出變數的規範POS形式
• 簡化上述以規範POS形式表示的布林函式。

如果有多個輸出變數，則對其他輸出變數也遵循相同的步驟。有時，可能無法簡化規範POS形式。在這種情況下，規範POS形式和標準POS形式相同。

示例

將以下布林函式轉換為標準POS形式。

$$\mathrm{f \: = \: (p + q + r)\cdot(p + q + r')\cdot(p + q' + r)\cdot(p' + q + r)}$$

給定的布林函式採用規範POS形式。現在，我們必須簡化此布林函式以獲得標準POS形式。

步驟1 − 使用布林代數定理，x · x = x。這意味著，任何布林變數’n’次的邏輯與運算將等於相同的變數。因此，我們可以將第一項p+q+r再寫兩次。

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: (p + q + r)\cdot(p + q + r)\cdot(p + q + r)\cdot(p + q + r')\cdot(p +q' + r)\cdot(p' + q + r)}$$

步驟2 − 使用分配律，x + (y · z) = (x + y)·(x + z) 對第1個和第4個括號、第2個和第5個括號、第3個和第6個括號進行操作。

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: (p + q + rr')\cdot(p + r + qq')\cdot(q + r + pp')}$$

步驟3 − 使用布林代數定理，x.x'=0 來簡化每個括號中的項。

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: (p + q + 0)\cdot(p + r + 0)\cdot(q + r + 0)}$$

步驟4 − 使用布林代數定理，x + 0 = x 來簡化每個括號中的項

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: (p + q)\cdot(p + r)\cdot(q + r)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: (p + q)\cdot(q + r)\cdot(p + r)}$$

這是簡化的布林函式。因此，對應於給定規範POS形式的標準POS形式是f = (p + q)·(q + r)·(p + r)。這是布林函式f = pq + qr + pr的對偶。

因此，標準SOP和標準POS形式是互為對偶的。