數位電子中的三變數卡諾圖

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卡諾圖或卡諾圖是一種圖形方法，用於簡化布林函式中複雜的代數表示式。這種方法避免了使用複雜的定理和方程操作。卡諾圖基本上是真值表的一種特殊形式，可以輕鬆地對映引數的值並給出簡化的布林表示式。

卡諾圖方法最適合具有2到4個變數的布林函式。但是，它也可以用於具有5或6個變數的布林函式，但是隨著函式中變數數量的增加，其過程變得更加困難。

因此，在實踐中，我們主要使用二變數卡諾圖、三變數卡諾圖和四變數卡諾圖。但是，有時也使用五變數卡諾圖和六變數卡諾圖來推匯出布林表示式。

在這裡，我們將討論三變數卡諾圖及其用於簡化複雜布林函式的應用。

三變數卡諾圖

我們可以使用卡諾圖來簡化一個三變數的布林函式。一個三變數（A，B，C）的布林函式可以用標準積之和（SOP）的形式表示，它可以有總共8種可能的組合，如下所示：

$$\mathrm{(A'B'C'), (A'B'C), (A'BC'), (A'BC), (AB'C'), (AB'C), (ABC'), (ABC)}$$

我們可以分別用m₀、m₁、m₂、m₃、m₄、m₅、m₆和m₇來表示這些組合中的每一個。這些項中的每一個都稱為最小項。在這些組合中，A稱為MSB（最高有效位），C稱為LSB（最低有效位）。

就POS（和之積）形式而言，三變數布林表示式的8種可能組合如下所示：

$$\mathrm{(A+B+C), (A+B+C'), (A+B'+C), (A+B'+C'), (A'+B+C), (A'+B+C'), (A'+B'+C), (A'+B'+C')}$$

這些組合中的每一個通常分別用M₀、M₁、M₂、M₃、M₄、M₅、M₆和M₇來表示。這些項中的每一個都稱為最大項。與最小項類似，A稱為MSB（最高有效位），C稱為LSB（最低有效位）。

因此，一個三變數卡諾圖有8個（2³）個方格或單元格，並且卡諾圖上的每個方格代表一個最小項或最大項，如下面的圖所示。

這裡，每個單元格右下角的小數字表示最小項或最大項的名稱。

卡諾圖頂部的二進位制數表示每列中變數B和C的條件。卡諾圖左側每行對應的二進位制數表示該行中變數A的條件。

例如，上圖中第四列頂部的二進位制數10表示變數B以非補碼形式出現，變數C以補碼形式出現在該列的所有最小項中。卡諾圖第一行左側的二進位制數0表示變數A以其補碼形式出現在所有最小項中，而卡諾圖第二行左側的二進位制數1表示變數A以其非補碼形式出現在所有最小項中。

此外，請注意卡諾圖頂部的二進位制數不是按正常的二進位制順序排列的，而是實際上按格雷碼排列的。在卡諾圖中使用格雷碼可確保兩個物理相鄰的單元格實際上是相鄰的，這意味著它們的最小項或最大項僅在一個變數上有所不同。

數值示例

將以下三變數布林表示式對映到卡諾圖上。

$$\mathrm{f \: = \: \overline{A} \: \overline{B} \: C \: + \: A \: \overline{B} \: C \: + \: \overline{A} \: B \: \overline{C} \: + \: A \: \overline{B} \: \overline{C} \: + \: A \: B \: C}$$

解決方案

在給定的布林表示式中，最小項為：

$$\mathrm{\overline{A} \: \overline{B} \: C \: = \: 001; \: A \: \overline{B} \: C \: = \: 101; \: \overline{A} \: B \: \overline{C} \: = \: 010; \: A \: \overline{B} \: \overline{C} \: = \: 100; \: ABC \: = \: 111}$$

所以，

$$\mathrm{m_{1} \: = \: \overline{A} \: \overline{B} \: C \: = \: 001}$$

$$\mathrm{m_{5} \: = \: A \: \overline{B} \: C \: = \: 101}$$

$$\mathrm{m_{2} \: = \: \overline{A} \: B \: \overline{C} \: = \: 010}$$

$$\mathrm{m_{4} \: = \: A \: \overline{B} \: \overline{C} \: = \: 100}$$

$$\mathrm{m_{7} \: = \: ABC \: = \: 111}$$

因此，表示式由以下給出：

$$\mathrm{f \: = \: \sum \: m (1, \: 5, \: 2, \: 4, \: 7)}$$

該表示式的卡諾圖如下面的圖所示：

結論

從以上討論中，我們可以得出結論，三變數卡諾圖是一種用於簡化複雜三變數布林函式的圖形方法。一個三變數卡諾圖有8個方格或單元格。