統計學 - 分層抽樣

這種檢查策略用於總體可以輕鬆地劃分為群體或層的情況，這些群體或層彼此之間特別不同，但在一個群體內的元素在某些屬性方面是同質的，例如，學校的學生可以根據性別、提供的課程、年齡等劃分為層。在這種情況下，總體首先被劃分為層，然後從每個層中抽取一個簡單隨機樣本。分層抽樣有兩種型別：比例分層抽樣和非比例分層抽樣。

• 比例分層抽樣 - 在這種情況下，從每個層中選擇的單位數量與該層在總體中的比例成正比，例如，在一所大學中，共有 2500 名學生，其中 1500 名學生註冊了本科課程，1000 名學生註冊了研究生課程。如果要使用比例分層抽樣選擇 100 個樣本，則樣本中本科生的數量將為 60，研究生為 40。因此，這兩個層在樣本中的表示比例與其在總體中的表示比例相同。

  當抽樣的目的是估計某個特徵的總體值並且層內方差沒有差異時，這種方法最合適。

• 非比例分層抽樣 - 當研究的目的是比較層之間的差異時，有必要從所有層中抽取相同數量的單位，而不管它們在總體中的比例如何。有時，某些層在某些特徵方面比其他層變化更大，在這種情況下，可以從變化更大的層中抽取更多數量的單位。在這兩種情況下，抽取的樣本都是非比例分層樣本。

  層的大小和層變異性的差異可以使用以下公式來最佳化分配，以確定來自不同層的樣本量

  公式

  ${n_i = \frac{n.n_i\sigma_i}{n_1\sigma_1+n_2\sigma_2+...+n_k\sigma_k}\ for\ i = 1,2 ...k}$

  其中 -

  • ${n_i}$ = 第i層的樣本量。

  • ${n}$ = 層的大小。

  • ${\sigma_1}$ = 第i層的標準差。

  此外，可能存在在一個層中收集樣本的成本可能高於另一個層的情況。最佳非比例抽樣應以以下方式進行

  ${\frac{n_1}{n_1\sigma_1\sqrt{c_1}} = \frac{n_2}{n_2\sigma_1\sqrt{c_2}} = ... = \frac{n_k}{n_k\sigma_k\sqrt{c_k}}}$

  其中 ${c_1, c_2, ... ,c_k}$ 指的是在k層中抽樣的成本。可以使用以下公式確定來自不同層的樣本量

  ${n_i = \frac{\frac{n.n_i\sigma_i}{\sqrt{c_i}}}{\frac{n_1\sigma_1}{\sqrt{c_i}}+\frac{n_2\sigma_2}{\sqrt{c_2}}+...+\frac{n_k\sigma_k}{\sqrt{c_k}}}\ for\ i = 1,2 ...k}$

示例

問題陳述

一個組織有 5000 名員工，他們被分層為三個級別。

• 層A：50名高管，標準差=9

• 層B：1250名非體力勞動者，標準差=4

• 層C：3700名體力勞動者，標準差=1

如何以非比例的方式抽取 300 名員工的樣本，並進行最佳分配？

解決方案

使用非比例抽樣公式進行最佳分配。