統計學 - 區間估計

區間估計是指利用樣本資料計算未知總體引數可能（或機率）值的區間，與點估計形成對比，點估計是一個單一數字。

公式

${\mu = \bar x \pm Z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt n}}$

其中 -

問題陳述

假設一名學生測量某種液體的沸點，在6個不同的液體樣本上觀察到讀數（以攝氏度為單位）分別為102.5、101.7、103.1、100.9、100.5和102.2。他計算出樣本均值為101.82。如果他知道此過程的標準差為1.2度，那麼在95%置信水平下，總體均值的區間估計是多少？

解決方案

該學生計算出沸點樣本均值為101.82，標準差為${\sigma = 0.49}$。95%置信區間的臨界值為1.96，其中${\frac{1-0.95}{2} = 0.025}$。未知均值的95%置信區間。

${ = ((101.82 - (1.96 \times 0.49)), (101.82 + (1.96 \times 0.49))) \\[7pt] \ = (101.82 - 0.96, 101.82 + 0.96) \\[7pt] \ = (100.86, 102.78) }$

隨著置信水平的降低，相應區間的長度也會減小。假設該學生對沸點的90%置信區間感興趣。在這種情況下，${\sigma = 0.90}$，並且${\frac{1-0.90}{2} = 0.05}$。此水平的臨界值等於1.645，因此90%置信區間為

${ = ((101.82 - (1.645 \times 0.49)), (101.82 + (1.645 \times 0.49))) \\[7pt] \ = (101.82 - 0.81, 101.82 + 0.81) \\[7pt] \ = (101.01, 102.63)}$

樣本量的增加將縮短置信區間的長度，而不會降低置信水平。這是因為隨著n的增加，標準差會減小。

區間估計的誤差範圍${m}$定義為加到或減去樣本均值的值，該值決定了區間的長度

${Z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt n}}$

假設在上例中，學生希望在95%置信度下獲得誤差範圍等於0.5。將適當的值代入${m}$的表示式並求解n得到計算結果。

${ n = {(1.96 \times \frac{1.2}{0.5})}^2 \\[7pt] \ = {\frac{2.35}{0.5}^2} \\[7pt] \ = {(4.7)}^2 \ = 22.09 }$

為了實現沸點均值的95%區間估計，總長度小於1度，學生將不得不進行23次測量。

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