統計學 - F 檢驗表

F 檢驗以更著名的分析師 R.A. Fisher 的名字命名。F 檢驗用於檢驗兩個獨立的總體方差估計是否顯著不同，或者這兩個樣本是否可以認為是從具有相同方差的正態總體中抽取的。為了進行檢驗，我們計算 F 統計量，其定義為

公式

${F} = \frac{總體方差較大估計}{總體方差較小估計} = \frac{{S_1}^2}{{S_2}^2}\ 其中\ {{S_1}^2} \gt {{S_2}^2}$

步驟

其檢驗步驟如下

建立原假設，即兩個總體方差相等。即 ${H_0: {\sigma_1}^2 = {\sigma_2}^2}$
使用公式計算隨機樣本的方差

${S_1^2} = \frac{\sum(X_1- \bar X_1)^2}{n_1-1}, \\[7pt] \ {S_2^2} = \frac{\sum(X_2- \bar X_2)^2}{n_2-1}$
計算方差比 F 為

${F} = \frac{{S_1}^2}{{S_2}^2}\ 其中\ {{S_1}^2} \gt {{S_2}^2}$
計算自由度。總體方差較大估計的自由度用 v1 表示，較小估計用 v2 表示。即，
1. ${v_2}$ = 具有較小方差的樣本的自由度 = ${n_2-1}$
然後從書末提供的 F 表中，找到 ${v_1}$ 和 ${v_2}$ 在 5% 顯著性水平下的 ${F}$ 值。
然後我們將計算出的 ${F}$ 值與 ${v_1}$ 和 ${v_2}$ 自由度下 ${F_.05}$ 的表值進行比較。如果計算出的 ${F}$ 值超過 ${F}$ 的表值，我們拒絕原假設，並得出結論認為兩個方差之間的差異是顯著的。另一方面，如果計算出的 ${F}$ 值小於表值，則接受原假設，並得出結論認為這兩個樣本都說明了 F 檢驗的應用。

示例

問題陳述

在一個包含 8 個觀測值的樣本中，觀測值與其平均值的平方差之和為 94.5。在另一個包含 10 個觀測值的樣本中，觀察到的值為 101.7。檢驗這兩個樣本方差的差異在 5% 水平下是否顯著。（給定在 5% 的顯著性水平下，${v_1}$ = 7 和 ${v_2}$ = 9 時 ${F}$ 的臨界值為 3.29）。

解答

讓我們假設兩個樣本的方差差異不顯著，即 ${H_0: {\sigma_1}^2 = {\sigma_2}^2}$

我們得到以下資訊

${n_1} = 8 , {\sum {(X_1 - \bar X_1)}^2} = 94.5, {n_2} = 10, {\sum {(X_2 - \bar X_2)}^2} = 101.7, \\[7pt] {S_1^2} = \frac{\sum(X_1- \bar X_1)^2}{n_1-1} = \frac {94.5}{8-1} = \frac {94.5}{7} = {13.5}, \\[7pt] {S_2^2} = \frac{\sum(X_2- \bar X_2)^2}{n_2-1} = \frac {101.7}{10-1} = \frac {101.7}{9} = {11.3}$

應用 F 檢驗

${F} = \frac{{S_1}^2}{{S_2}^2} = \frac {13.5}{11.3} = {1.195}$

對於 ${v_1}$ = 8-1 = 7，${v_2}$ = 10-1 = 9 以及 ${F_.05}$ = 3.29。計算出的 ${F}$ 值小於表值。因此，我們接受原假設，並得出結論認為這兩個樣本的方差差異在 5% 水平下不顯著。

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