統計學 - Beta 分佈

Beta 分佈表示連續機率分佈，由兩個正的形狀引數 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 引數化，它們作為隨機變數 x 的指數出現並控制分佈的形狀。

機率密度函式

Beta 分佈的機率密度函式表示為

公式

${ f(x) = \frac{(x-a)^{\alpha-1}(b-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta) (b-a)^{\alpha+\beta-1}} \hspace{.3in} a \le x \le b; \alpha, \beta > 0 \\[7pt] \, where \ B(\alpha,\beta) = \int_{0}^{1} {t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt} }$

其中 -

${ \alpha, \beta }$ = 形狀引數。
${a, b}$ = 上限和下限。
${B(\alpha,\beta)}$ = Beta 函式。

標準 Beta 分佈

如果上限和下限為 1 和 0，則 Beta 分佈稱為標準 Beta 分佈。它由以下公式驅動

公式

${ f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)} \hspace{.3in} \le x \le 1; \alpha, \beta > 0}$

累積分佈函式

Beta 分佈的累積分佈函式表示為

公式

${ F(x) = I_{x}(\alpha,\beta) = \frac{\int_{0}^{x}{t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt}}{B(\alpha,\beta)} \hspace{.2in} 0 \le x \le 1; p, \beta > 0 }$

其中 -

${ \alpha, \beta }$ = 形狀引數。
${a, b}$ = 上限和下限。
${B(\alpha,\beta)}$ = Beta 函式。

它也稱為不完全 Beta 函式比率。

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