統計學 - 泊松分佈

泊松分佈是離散機率分佈，在統計工作中廣泛使用。這種分佈是由法國數學家西蒙·丹尼斯·泊松在1837年提出的，並以他的名字命名。泊松分佈用於事件發生的機率很小的情況，即事件很少發生。例如，製造企業中出現缺陷產品的機率很小，一年內發生地震的機率很小，道路上發生事故的機率很小，等等。所有這些都是事件發生的機率很小的例子。

泊松分佈由以下機率函式定義和給出

公式

${P(X=x)} = {e^{-m}}.\frac{m^x}{x!}$

其中 -

${m}$ = 成功機率。
${P(X=x)}$ = x次成功的機率。

示例

問題陳述

一位別針生產商發現，正常情況下，他5%的產品有缺陷。他將別針包裝成100枚一包，並保證不超過4枚別針有缺陷。一包別針滿足保證質量的機率是多少？[已知：${e^{-m}} = 0.0067$]

解決方案

設p = 缺陷別針的機率 = 5% = $\frac{5}{100}$。已知

${n} = 100, {p} = \frac{5}{100} , \\[7pt] \ \Rightarrow {np} = 100 \times \frac{5}{100} = {5}$

泊松分佈表示為

${P(X=x)} = {e^{-m}}.\frac{m^x}{x!}$

所需機率 = P [包裝滿足保證]

= P [包裝包含最多4個缺陷]

= P (0) +P (1) +P (2) +P (3) +P (4)

$ = {e^{-5}}.\frac{5^0}{0!} + {e^{-5}}.\frac{5^1}{1!} + {e^{-5}}.\frac{5^2}{2!} + {e^{-5}}.\frac{5^3}{3!} +{e^{-5}}.\frac{5^4}{4!}, \\[7pt] \ = {e^{-5}}[1+\frac{5}{1}+\frac{25}{2}+\frac{125}{6}+\frac{625}{24}] , \\[7pt] \ = 0.0067 \times 65.374 = 0.438$

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