統計學 - 機率貝葉斯定理

機率領域最重大的發展之一是貝葉斯決策理論的發展，它已被證明對在不確定條件下做出決策有極大的幫助。貝葉斯定理是由英國數學家托馬斯·貝葉斯牧師提出的。貝葉斯定理下的機率也稱為逆機率、後驗機率或修正機率。該定理透過考慮給定的樣本資訊來找到事件的機率；因此得名後驗機率。貝葉斯定理基於條件機率公式。

給定事件${B}$時事件${A_1}$的條件機率為

${P(A_1/B) = \frac{P(A_1\ 和\ B)}{P(B)}}$

同樣，給定事件${B}$時事件${A_1}$的機率為

${P(A_2/B) = \frac{P(A_2\ 和\ B)}{P(B)}}$

其中

${P(B) = P(A_1\ 和\ B) + P(A_2\ 和\ B) \\[7pt] P(B) = P(A_1) \times P (B/A_1) + P (A_2) \times P (BA_2) }$

${P(A_1/B)}$可以改寫為

${P(A_1/B) = \frac{P(A_1) \times P (B/A_1)}{P(A_1)} \times P (B/A_1) + P (A_2) \times P (BA_2)}$

因此，貝葉斯定理的一般形式為

${P(A_i/B) = \frac{P(A_i) \times P (B/A_i)}{\sum_{i=1}^k P(A_i) \times P (B/A_i)}}$

其中${A_1}$，${A_2}$...${A_i}$...${A_n}$是一組n個互斥且窮舉的事件。

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