統計學 - 布萊克-斯科爾斯模型

布萊克-斯科爾斯模型是一個數學模型，用於檢查諸如股票等金融工具隨時間推移的價格變化，可用於計算歐式看漲期權的價格。該模型假設交易量大的資產價格遵循具有恆定漂移和波動率的幾何布朗運動。在股票期權的情況下，布萊克-斯科爾斯模型包含標的股票的恆定價格變化、貨幣的時間價值、期權的執行價格及其到期時間。

布萊克-斯科爾斯模型是由費舍爾·布萊克、羅伯特·默頓和邁倫·斯科爾斯於1973年提出的，至今仍在歐洲金融市場廣泛使用。它提供了一種確定期權公平價格的最佳方法。

輸入

布萊克-斯科爾斯模型需要五個輸入。

期權的執行價格
當前股票價格
到期時間
無風險利率
波動率

假設

布萊克-斯科爾斯模型假設以下幾點。

股票價格遵循對數正態分佈。
資產價格不能為負。
無交易成本或稅收。
所有期限的無風險利率均為恆定。
允許使用收益進行證券賣空。
不存在無風險套利機會。

公式

${ C = SN(d_1) - Ke^{-rT}Nd_2 \\[7pt] \, P = Ke^{-rT}N(-d_2) - SN(-d_1) \\[7pt] \, 其中 \\[7pt] \, d_1 = \frac{1}{{\sigma \sqrt T}} [ln(\frac{S}{K}) + (r + \frac{\sigma^2}{2}T)] \\[7pt] \, d_2 = d_1 - \sigma \sqrt T }$

其中 -

${C}$ = 看漲期權價值。
${P}$ = 看跌期權價值。
${S}$ = 股票價格。
${K}$ = 執行價格。
${r}$ = 無風險利率。
${T}$ = 到期時間。
${\sigma}$ = 年化波動率。

侷限性

布萊克-斯科爾斯模型具有以下侷限性。

僅適用於歐式期權，因為美式期權可以在到期前執行。
恆定的股息和恆定的無風險利率可能不切實際。
波動率可能會隨著期權供求水平而波動，因此恆定可能不正確。

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