統計學 - 二次迴歸方程

二次迴歸用於確定最適合給定資料集的拋物線方程。它具有以下形式

${ y = ax^2 + bx + c \ where \ a \ne 0}$

最小二乘法可用於求出二次迴歸方程。在這種方法中，我們求出a、b和c的值，使得每個給定點(${x_i, y_i}$)與拋物線方程(${ y = ax^2 + bx + c}$)之間的垂直距離的平方最小。拋物線曲線的矩陣方程由下式給出

$ {\begin{bmatrix} \sum {x_i}^4 & \sum {x_i}^3 & \sum {x_i}^2 \\ \sum {x_i}^3 & \sum {x_i}^2 & \sum x_i \\ \sum {x_i}^2 & \sum x_i & n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum {x_i}^2{y_i} \\ \sum x_iy_i \\ \sum y_i \end{bmatrix} }$

相關係數，r

相關係數r決定二次方程擬合給定資料的優劣程度。如果r接近1，則擬合效果良好。r可以透過以下公式計算。

${ r = 1 - \frac{SSE}{SST} \ where \\[7pt] \ SSE = \sum (y_i - a{x_i}^2 - bx_i - c)^2 \\[7pt] \ SST = \sum (y_i - \bar y)^2 }$

通常，使用二次迴歸計算器來計算二次迴歸方程。

示例

問題陳述

計算以下資料的二次迴歸方程。檢查其最佳擬合度。

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	7.5	3	0.5	1	3	6	14

解決方案

透過輸入x和y值，在計算器上執行二次迴歸。上述點的最佳擬合二次方程為

${ y = 1.1071x^2 + x + 0.5714 }$

要檢查最佳擬合度，請繪製圖形。

因此，資料的相關係數r值為0.99420，接近1。因此，二次迴歸方程是最佳擬合。

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