統計學 - 信噪比

信噪比（SNR）是科學和工程中使用的一種度量，用於分析所需訊號的電平與背景噪聲的電平。它定義為訊號能量與噪聲功率之比，通常以分貝表示。大於1:1（大於0 dB）的比率表示訊號大於噪聲。雖然SNR通常用於電訊號，但它可以應用於任何型別的訊號，例如冰芯中的同位素水平或細胞之間的生化訊號。

信噪比定義為訊號（有意義的資訊）功率與背景噪聲（不需要的訊號）功率之比。

${SNR = \frac{P_{signal}}{P_{noise}}}$

如果已知訊號和噪聲的方差，並且訊號為零

${SNR = \frac{\sigma^2_{signal}}{\sigma^2_{noise}}}$

如果訊號和噪聲是在相同的阻抗上測量的，則可以透過計算幅度比的平方來獲得SNR

${SNR = \frac{P_{signal}}{P_{noise}} = {(\frac{A_{signal}}{A_{noise}})}^2} $

其中A是均方根（RMS）幅度（例如，RMS電壓）。

分貝

因為許多訊號具有非常寬的動態範圍，所以訊號通常使用對數分貝標度表示。根據分貝的定義，訊號和噪聲可以用分貝（dB）表示為

${P_{signal,dB} = 10log_{10}(P_{signal})} $

和

${P_{noise,dB} = 10log_{10}(P_{noise})} $

以類似的方式，SNR可以用分貝表示為

${SNR_{dB} = 10log_{10}(SNR)} $

使用SNR的定義

${SNR_{dB} = 10log_{10}(\frac{P_{signal}}{P_{noise}})} $

使用對數的商法則

${10log_{10}(\frac{P_{signal}}{P_{noise}}) = 10log_{10}(P_{signal}) - 10log_{10}(P_{noise})} $

將SNR、訊號和噪聲的分貝定義代入上述等式，得到一個計算分貝信噪比的重要公式，當訊號和噪聲也以分貝表示時

${SNR_{dB} = P_{signal,dB} - P_{noise,dB}} $

在上述公式中，P以功率單位（如瓦特或毫瓦）測量，信噪比是一個純數。

但是，當訊號和噪聲以伏特或安培測量時，它們是幅度的量度，必須將其平方才能與功率成正比，如下所示

${SNR_{dB} = 10log_{10}[{(\frac{A_{signal}}{A_{noise}})}^2] \\[7pt] = 20log_{10}(\frac{A_{signal}}{A_{noise}}) \\[7pt] = A_{signal,dB} - A_{noise,dB}} $

示例

問題陳述

計算以48 kHz取樣的2.5 kHz正弦波的SNR。新增標準差為0.001的白噪聲。將隨機數生成器設定為預設設定以獲得可重現的結果。

解決方案

${ F_i = 2500; F_s = 48e3; N = 1024; \\[7pt] x = sin(2 \times pi \times \frac{F_i}{F_s} \times (1:N)) + 0.001 \times randn(1,N); \\[7pt] SNR = snr(x,Fs) \\[7pt] SNR = 57.7103}$

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