統計學 - 卡方分佈

卡方分佈（卡方或${X^2}$分佈）具有自由度k，是k個獨立標準正態隨機變數的平方和的分佈。它是統計學中最廣泛使用的機率分佈之一。它是伽馬分佈的特例。

統計學家廣泛使用卡方分佈來計算以下內容

使用樣本標準差估計正態分佈總體標準差的置信區間。
檢查多個定性變數的多個分類標準的獨立性。
檢查分類變數之間的關係。
研究基礎分佈為正態的樣本方差。
檢驗預期頻率和觀察頻率之間差異的偏差。
進行卡方檢驗（擬合優度檢驗）。

機率密度函式

卡方分佈的機率密度函式表示為

公式

${ f(x; k ) = } $ $ \begin {cases} \frac{x^{ \frac{k}{2} - 1} e^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(\frac{k}{2})}, & \text{如果 $x \gt 0 $} \\[7pt] 0, & \text{如果 $x \le 0 $} \end{cases} $

其中 -

${\Gamma(\frac{k}{2})}$ = 伽馬函式，對於整數引數k具有封閉形式的值。
${x}$ = 隨機變數。
${k}$ = 整數引數。

累積分佈函式

卡方分佈的累積分佈函式表示為

公式

${ F(x; k) = \frac{\gamma(\frac{x}{2}, \frac{k}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}\\[7pt] = P (\frac{x}{2}, \frac{k}{2}) }$

其中 -

${\gamma(s,t)}$ = 下不完全伽馬函式。
${P(s,t)}$ = 正則化伽馬函式。
${x}$ = 隨機變數。
${k}$ = 整數引數。

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