統計學 - 機率加法定理

對於互斥事件

機率加法定理指出，如果A和B是兩個互斥事件，則事件A或B發生的機率由下式給出：

${P(A或B) = P(A) + P(B) \\[7pt] P (A \cup B) = P(A) + P(B)}$

該定理也可以擴充套件到三個互斥事件，如下所示：

${P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) }$

示例

問題陳述

從一副52張牌中抽取一張牌，求抽到一張國王或王后的機率。

解答

設事件(A) = 抽到一張國王牌

事件(B) = 抽到一張王后牌

P(抽到國王或王后) = P(抽到國王) + P(抽到王后)

${P (A \cup B) = P(A) + P(B) \\[7pt] = \frac{4}{52} + \frac{4}{52} \\[7pt] = \frac{1}{13} + \frac{1}{13} \\[7pt] = \frac{2}{13}}$

對於非互斥事件

如果兩個事件都有可能發生，則加法定理寫成：

${P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A和B)\\[7pt] P (A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)}$

示例

問題陳述

已知一名射手7次射擊中3次命中目標，另一名射手5次射擊中2次命中目標。求兩人都射擊時目標至少被擊中的機率。

解答

第一名射手擊中目標的機率P(A) = ${\frac{3}{7}}$

第二名射手擊中目標的機率P(B) = ${\frac{2}{5}}$

事件A和B不是互斥事件，因為兩個射手都可能擊中目標。因此，適用的加法規則是

${P (A \cup B) = P (A) + P(B) - P (A \cap B) \\[7pt] = \frac{3}{7}+\frac{2}{5}-(\frac{3}{7} \times \frac{2}{5}) \\[7pt] = \frac{29}{35}-\frac{6}{35} \\[7pt] = \frac{23}{35}}$

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