統計學 - 奇排列和偶排列

假設X是一個至少有兩個元素的有限集合，那麼X的排列可以分為兩個大小相等的類別：偶排列和奇排列。

奇排列

奇排列是由集合中奇數次兩元素交換得到的排列集合。它用-1的排列符號表示。對於一個有n個數字的集合，其中n > 2，有${\frac {n!}{2}}$種可能的排列。例如，對於n = 1, 2, 3, 4, 5, ...，可能的奇排列分別是0, 1, 3, 12, 60等等...

示例

計算以下集合的奇排列：{1,2,3,4}。

解決方案

這裡n = 4，因此可能的奇排列總數為${\frac {4!}{2} = \frac {24}{2} = 12}$。以下是生成奇排列的步驟。

步驟1

交換兩個數字一次。以下是可獲得的排列

${ \{ 2, 1, 3, 4 \} \\[7pt] \{ 1, 3, 2, 4 \} \\[7pt] \{ 1, 2, 4, 3 \} \\[7pt] \{ 3, 2, 1, 4 \} \\[7pt] \{ 4, 2, 3, 1 \} \\[7pt] \{ 1, 4, 3, 2 \} }$

步驟2

交換兩個數字三次。以下是可獲得的排列

${ \{ 2, 3, 4, 1 \} \\[7pt] \{ 2, 4, 1, 3 \} \\[7pt] \{ 3, 1, 4, 2 \} \\[7pt] \{ 3, 4, 2, 1 \} \\[7pt] \{ 4, 1, 2, 3 \} \\[7pt] \{ 4, 3, 1, 2 \} }$

偶排列

偶排列是由集合中偶數次兩元素交換得到的排列集合。它用+1的排列符號表示。對於一個有n個數字的集合，其中n > 2，有${\frac {n!}{2}}$種可能的排列。例如，對於n = 1, 2, 3, 4, 5, ...，可能的偶排列分別是0, 1, 3, 12, 60等等...

示例

計算以下集合的偶排列：{1,2,3,4}。

解決方案

這裡n = 4，因此可能的偶排列總數為${\frac {4!}{2} = \frac {24}{2} = 12}$。以下是生成偶排列的步驟。

步驟1

交換兩個數字零次。以下是可獲得的排列

${ \{ 1, 2, 3, 4 \} }$

步驟2

交換兩個數字兩次。以下是可獲得的排列

${ \{ 1, 3, 4, 2 \} \\[7pt] \{ 1, 4, 2, 3 \} \\[7pt] \{ 2, 1, 4, 3 \} \\[7pt] \{ 2, 3, 1, 4 \} \\[7pt] \{ 2, 4, 3, 1 \} \\[7pt] \{ 3, 1, 2, 4 \} \\[7pt] \{ 3, 2, 4, 1 \} \\[7pt] \{ 3, 4, 1, 2 \} \\[7pt] \{ 4, 1, 3, 2 \} \\[7pt] \{ 4, 2, 1, 3 \} \\[7pt] \{ 4, 3, 2, 1 \} }$

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