統計學 - 負二項分佈

負二項分佈是在一系列獨立試驗中，在發生特定次數的成功之前，成功和失敗次數出現的機率分佈。以下是關於負二項實驗需要注意的關鍵點。

實驗應進行x次重複試驗。
每次試驗都有兩種可能的結果，一種是成功，另一種是失敗。
每次試驗的成功機率相同。
一次試驗的結果與另一次試驗的結果無關。
實驗應持續進行，直到觀察到r次成功，其中r事先已知。

可以使用以下方法計算負二項分佈機率

公式

${ f(x; r, P) = ^{x-1}C_{r-1} \times P^r \times (1-P)^{x-r} }$

其中 -

${x}$ = 試驗總數。
${r}$ = 成功發生的次數。
${P}$ = 每次發生時的成功機率。
${1-P}$ = 每次發生時的失敗機率。
${f(x; r, P)}$ = 負二項機率，即在每次試驗的成功機率為P的情況下，x次試驗的負二項實驗在第x次試驗中獲得第r次成功的機率。
${^{n}C_{r}}$ = 從n個專案中選取r個專案的組合。

示例

羅伯特是一名足球運動員。他的射門成功率為70%。羅伯特在第五次嘗試中射進第三個球的機率是多少？

解決方案

這裡成功機率P為0.70。試驗次數x為5，成功次數r為3。使用負二項分佈公式，讓我們計算在第五次嘗試中射進第三個球的機率。

${ f(x; r, P) = ^{x-1}C_{r-1} \times P^r \times (1-P)^{x-r} \\[7pt] \implies f(5; 3, 0.7) = ^4C_2 \times 0.7^3 \times 0.3^2 \\[7pt] \, = 6 \times 0.343 \times 0.09 \\[7pt] \, = 0.18522 }$

因此，在第五次嘗試中射進第三個球的機率為${ 0.18522 }$。

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