能力傾向 - 數列與級數

數列

按照一定規則形成並排列的一系列數字稱為數列。

算術級數 (A.P.)

這是一個數列，其中除了第一項之外，每一項都與前一項相差一個常數。這個常數稱為公差。我們將第一項表示為a，公差表示為d，第n項表示為Tṇ，前n項的和表示為Sṇ。

示例

5, 8,11,14,17...is an A.P. in which a=5 and d = (8-5) =3.
8, 5, 2,-1,-4,-7.... is an A.P. in which a = 8 and d = (5-8) = -3.

算術級數的通項

在一個給定的算術級數中，設第一項=a，公差=d。那麼，

Tn= a + (n-1) d.
Sum of n terms of an A.P.
Sn = n/2[2a+ (n-1) d]
Sn = n/2 (a + L), where L is the last term.

幾何級數 (G.P.)

一個數列，其中除了第一項之外，每一項都與其前一項的比值是一個常數，稱為幾何級數，寫成G.P. 這個常數比值稱為幾何級數的公比。我們將它的第一項表示為a，公比表示為r。

示例

2, 6, 18, 54, is a G.P.in which a=2 and r=6/2=3.
24, 12, 6, 3... Is a G.P. in which a = 24 and r = 12/24=1/2.

幾何級數的通項：在幾何級數中，我們有

Tn= arn-1
Sum of n terms of a G.P.
Sn = a (1-rn)/ (1-r), When r < 1
a (r - 1n)/(r-1), When r > 1

算術平均數

A.M. of a and b = 1/2(a+b).

幾何平均數

G.M. of a and b =√ab

一些常用級數

(i) 1+2+3+4+…….+n=1/2n (n+1).
(ii) 12+22+32+42+……+n2 = n(n+1)(2n+1)/6 
(iii)  13+23+33+43+…..+n3= {1/2 n(n+1)}2

例題解析