推理 - 不等式

基於不等式和編碼不等式的題目中涉及兩個基本問題的組合。

在這種型別的題目中，編碼方案完全在題目本身給出。解碼給定題目中的不等式不會比多花幾秒鐘更令人頭疼。

從本質上講，這是一個不等式的題目，應該掌握這方面的內容。因此，我們首先學習不等式的基礎知識。

我們知道 5 和 3 相乘的結果與數字 15 相等。由於它們相等，所以是等式，但如果 5 × 5 ≠ 15，則 5 和 5 的乘積不相等於數字 15，這是一個不等式。

大於 - 用 > 表示。例如，5 × 5 > 15

小於 - 用 < 表示。例如，5 × 2 < 15

大於或等於 - 用 ≥ 表示。當我們不知道兩個數字之間不等式的確切條件時，我們使用此符號。例如，考慮兩個數字x和q。我們知道x 不小於 q。在這種情況下，x 可以等於 q 或大於 q。所以我們使用 ≥ 符號。

小於或等於 - 用 ≤ 表示。當一個數字小於另一個數字或等於該數字時，使用此符號。例如，考慮兩個數字X和B，其中X不大於B。在這種情況下，X 小於或等於 B。所以它可以表示為X ≤ B。

組合不等式的兩條黃金法則如下：

一個共同項可以組合兩個不等式。

示例 1

不等式 - A > B，C > D

這裡使用了四個項，但沒有共同項。因此，這兩個不等式無法組合。

示例 2

不等式 - A ≤ B，X ≥ Y

因此，這裡也缺少共同項。所以它們無法組合。

如果共同項大於一個且小於另一個，則可以組合這兩個不等式。

示例 1

不等式 - P > X，X > C。

這裡，共同項是 X。X 大於 C 但小於 P。因此，組合將是這樣的 – P > X > C 或 C < X < P。

示例 2

不等式 - X < P，X ≥ C

這裡 X 小於 P，且大於或等於項 C。由於 X 是共同項，因此可以組合。即 - P > X ≥ C 或 C ≤ X < P。

從組合不等式中得出結論 -

另一個規則，第三條黃金法則，用於從組合不等式中得出結論，如下所示：

將兩個不等式相加，並透過使中間項消失來得出結論。當且僅當組合不等式中的兩個符號都是 ≥ 時，結論不等式具有 ≥ 符號，反之亦然。

因此，結論通常嚴格具有 > 符號，除非組合不等式中兩次出現 ≥ 符號。

示例 1 - 從以下組合不等式中得出結論。

i. x > y > z

ii. x < y < z

解決方案 -

i. x > z

ii. x < z

解決不等式和編碼不等式題目的策略

解決問題的步驟如下：

步驟 1 - 整潔快速地解碼錶示算術運算的符號。

示例 - 給定 P α Q。表示 P > Q。因此，用 > 替換 α。您應該一次處理一個程式碼，並在轉到下一個程式碼之前將其替換為原始數學符號，並且您應該快速執行此操作。

步驟 2 - 一次考慮一個結論，並確定哪些陳述與評估結論相關。

現在，這需要一些思考。相關陳述是什麼意思？這裡我們指的是對得出結論沒有用的陳述。如果有一個結論，比如 x > y，那麼像 a > b 這樣的陳述是無用的，因為它不包含 x 或 y。因此，任何分析都不能告訴我們關於此結論的任何資訊。相關陳述是可以組合起來證明或反駁該結論的陳述。因此，此陳述與 x > y 無關。

要確定哪個陳述與結論相關，請取給定結論的兩個項，並檢視它們是否分別與一個共同項一起出現。這些陳述將是相關陳述。

示例 - 假設在執行步驟 1 後，我們有以下陳述；

M > N，L = M，O > N，L ≤ K

結論 -

a) M < K，b) L > N

步驟 3 - 使用三條黃金法則組合相關陳述並從中得出結論。黃金法則為：

規則 1 - 必須有一個共同項。

規則 2 - 共同項必須小於或等於一個項，且大於或等於另一個項。

規則 3 - 結論是不等式，透過讓共同項消失獲得，當且僅當第二步中的兩個不等式都具有 ≤ 符號或 ≥ 符號時，它才具有 ≤ 或 ≥ 符號。在所有其他情況下，結論中將有 < 或 > 符號。

對於結論 a (M < K)，相關陳述為

M = L 和 L ≤ K。

透過組合，我們得到 M = L < K

所以，M ≤ K（根據步驟 3）

現在 M ≤ K 並不意味著 M < K，因為 M ≤ K 允許 M 小於或等於 K，這在 M < K 的情況下是不正確的。

對於結論 b，相關陳述為

M > N 和 L = M

組合後，我們得到，L = M > N L > N

因此，結論得到驗證，很好。所以 L > N。如果不是，請執行以下檢查。

檢查 1 - 檢查結論是否直接來自單個給定陳述。

有時陳述可能以 A ≥ B 的形式出現，而一個結論可能以 B ≤ A 的形式出現。顯然，兩者完全相同，但有時我們容易忽略考官的這種小技巧。

示例 - 考慮以下內容：（令 α 表示 >，β 表示 ≥，γ 表示 =，δ 表示 <，η 表示 ≤）

令，給定陳述：E γ F，C δ D，F δ g，D β F

結論 - 1. G η F。

這裡結論是 G η F 或 G ≤ F，它與 F β G 或 F ≥ G 相同。因此，它直接來自一個陳述。

檢查 2 - 在第三步後得出的結論可能與給定的結論相同，儘管乍一看可能並非如此。

檢查 3 - 如果在第三步之後得到的結論具有 ≥ 符號，並且兩個給定的結論在相同項之間具有 > 符號和 = 符號，則選擇 1 或 2 正確。

例如 - 假設在執行第三步後得到 A ≥ B。現在假設給定的結論是 - I) A > B 和 II) A = B。那麼“I 或 II 遵循”的選擇是正確的。

同樣，如果您得出結論 M ≤ N，並且給定的結論是 I) M < N 和 II) M = N，那麼也會得到相同的答案。

檢查 4 - 如果兩個給定的結論在相同項之間具有以下符號

a) ≤ 和 > 符號，或

b) < 和 > 符號，或

c) > 和 ≤ 符號，或

d) ≥ 和 < 符號

並且如果在上述任何步驟中都沒有接受任何結論；則選擇兩者之一遵循是正確的。

假設，在一個給定的問題中，結論是

a) A ≥ B b) A < B

現在假設由於任何先前的步驟，它們都沒有被證明為真。由於它們具有相同的對（A 和 B）並且符號為 ≥ 和 <；則選擇兩者之一遵循是正確的。

注意 - 檢查 4 僅僅說明一個數字相對於另一個數字只能具有三個位置。它可以小於、等於或大於另一個數字。

這對於任何兩個數字來說都是普遍正確的。也就是說，[A ≤ B 或 A > B] 是一個普遍正確的陳述，因為 A 可以是（小於或等於）或（大於）B。

因此，對於任何兩個數字 A 和 B，以下始終正確：

I. A ≤ B 或 A < B

II. A < B 或 A > B

III. A > B 或 A ≤ B

IV. A ≥ B 或 A < B

這四對稱為互補對。在這種情況下，兩個陳述中總有一個是正確的。我們選擇“兩者之一遵循”作為答案。但請記住，我們只有在兩個陳述都沒有在任何先前的步驟中被證明的情況下，才將其作為我們的答案。