數字訊號處理 - Z 變換解題示例

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例 1

當所有初始條件都為零時，求系統 $s(n+2)-3s(n+1)+2s(n) = \delta (n)$ 的響應。

解 − 對上述方程兩邊進行 Z 變換，得到

$$S(z)Z^2-3S(z)Z^1+2S(z) = 1$$

$\Rightarrow S(z)\lbrace Z^2-3Z+2\rbrace = 1$

$\Rightarrow S(z) = \frac{1}{\lbrace z^2-3z+2\rbrace}=\frac{1}{(z-2)(z-1)} = \frac{\alpha _1}{z-2}+\frac{\alpha _2}{z-1}$

$\Rightarrow S(z) = \frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}$

對上述方程進行 Z 逆變換，得到

$S(n) = Z^{-1}[\frac{1}{Z-2}]-Z^{-1}[\frac{1}{Z-1}]$

$= 2^{n-1}-1^{n-1} = -1+2^{n-1}$

例 2

求差分方程描述的系統的系統函式 H(z) 和單位樣本響應 h(n)

$y(n) = \frac{1}{2}y(n-1)+2x(n)$

其中，y(n) 和 x(n) 分別是系統的輸出和輸入。

解 − 對上述差分方程進行 Z 變換，得到

$y(z) = \frac{1}{2}Z^{-1}Y(Z)+2X(z)$

$= Y(Z)[1-\frac{1}{2}Z^{-1}] = 2X(Z)$

$= H(Z) = \frac{Y(Z)}{X(Z)} = \frac{2}{[1-\frac{1}{2}Z^{-1}]}$

該系統在 $Z = \frac{1}{2}$ 和 $Z = 0$ 處有極點，並且 $H(Z) = \frac{2}{[1-\frac{1}{2}Z^{-1}]}$

因此，對上述進行 Z 逆變換，得到

$h(n) = 2(\frac{1}{2})^nU(n)$

例 3

確定以下情況下的 Y(z)，n≥0 −

$y(n)+\frac{1}{2}y(n-1)-\frac{1}{4}y(n-2) = 0\quad given\quad y(-1) = y(-2) = 1$

解 − 對上述方程應用 Z 變換，得到

$Y(Z)+\frac{1}{2}[Z^{-1}Y(Z)+Y(-1)]-\frac{1}{4}[Z^{-2}Y(Z)+Z^{-1}Y(-1)+4(-2)] = 0$

$\Rightarrow Y(Z)+\frac{1}{2Z}Y(Z)+\frac{1}{2}-\frac{1}{4Z^2}Y(Z)-\frac{1}{4Z}-\frac{1}{4} = 0$

$\Rightarrow Y(Z)[1+\frac{1}{2Z}-\frac{1}{4Z^2}] =\frac{1}{4Z}-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow Y(Z)[\frac{4Z^2+2Z-1}{4Z^2}] = \frac{1-2Z}{4Z}$

$\Rightarrow Y(Z) = \frac{Z(1-2Z)}{4Z^2+2Z-1}$