數字訊號處理 - Z 變換存在性

一個具有系統函式的系統，只有當所有極點位於單位圓內時才能穩定。首先，我們檢查系統是否因果。如果系統是因果的，那麼我們進行其BIBO穩定性確定；其中BIBO穩定性指的是有界輸入對應有界輸出的條件。

這可以寫成：

$Mod(X(Z))< \infty$

$= Mod(\sum x(n)Z^{-n})< \infty$

$= \sum Mod(x(n)Z^{-n})< \infty$

$= \sum Mod[x(n)(re^{jw})^{-n}]< 0$

$= \sum Mod[x(n)r^{-n}]Mod[e^{-jwn}]< \infty$

$= \sum_{n = -\infty}^\infty Mod[x(n)r^{-n}]< \infty$

上述等式顯示了Z變換存在的條件。

但是，DTFT訊號存在的條件是

$$\sum_{n = -\infty}^\infty Mod(x(n)< \infty$$

例1

讓我們嘗試找出給定訊號的Z變換，該訊號表示為

$x(n) = -(-0.5)^{-n}u(-n)+3^nu(n)$

$= -(-2)^nu(n)+3^nu(n)$

解 − 在這裡，對於$-(-2)^nu(n)$，ROC是左側的，且Z<2

對於$3^nu(n)$，ROC是右側的，且Z>3

因此，此處訊號的Z變換將不存在，因為沒有公共區域。

讓我們嘗試找出由下式給出的訊號的Z變換

$x(n) = -2^nu(-n-1)+(0.5)^nu(n)$

解 − 在這裡，對於$-2^nu(-n-1)$，訊號的ROC是左側的，且Z<2

對於訊號$(0.5)^nu(n)$，ROC是右側的，且Z>0.5

因此，形成的公共ROC為0.5<Z<2

因此，Z變換可以寫成：

$X(Z) = \lbrace\frac{1}{1-2Z^{-1}}\rbrace+\lbrace\frac{1}{(1-0.5Z)^{-1}}\rbrace$

讓我們嘗試找出給定訊號$x(n) = 2^{r(n)}$的Z變換

解 − r(n)是斜坡訊號。因此，訊號可以寫成：

$x(n) = 2^{nu(n)}\lbrace 1, n<0 (u(n)=0)\quad and\quad2^n, n\geq 0(u(n) = 1)\rbrace$

$= u(-n-1)+2^nu(n)$

這裡，對於訊號$u(-n-1)$，ROC Z<1，對於$2^nu(n)$，ROC Z>2。

因此，訊號的Z變換將不存在。

因果系統可以定義為$h(n) = 0,n<0$。對於因果系統，ROC將在Z平面的圓外。

$H(Z) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{\infty}h(n)Z^{-n}$

展開上述等式，

$H(Z) = h(0)+h(1)Z^{-1}+h(2)Z^{-2}+...\quad...\quad...$

$= N(Z)/D(Z)$

對於因果系統，傳遞函式的展開不包含Z的正冪。對於因果系統，分子階數不能超過分母階數。這可以寫成 -

$\lim_{z \rightarrow \infty}H(Z) = h(0) = 0\quad or\quad Finite$

對於因果系統的穩定性，傳遞函式的極點應位於Z平面中的單位圓內。

反因果系統可以定義為$h(n) = 0, n\geq 0$。對於反因果系統，傳遞函式的極點應位於Z平面中的單位圓外。對於反因果系統，ROC將在Z平面中的圓內。

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