數字訊號處理 - Z 變換反變換

如果我們想分析一個已經用頻域表示的系統，作為離散時間訊號，那麼我們就需要進行Z反變換。

數學上，它可以表示為：

$$x(n) = Z^{-1}X(Z)$$

其中 x(n) 是時域訊號，X(Z) 是頻域訊號。

如果我們想將上述方程表示為積分形式，我們可以寫成

$$x(n) = (\frac{1}{2\Pi j})\oint X(Z)Z^{-1}dz$$

這裡，積分是在閉合路徑 C 上進行的。該路徑位於 x(z) 的收斂域內，並且包含原點。

求解 Z 反變換的方法

當需要以離散格式進行分析時，我們透過 Z 反變換將頻域訊號轉換回離散格式。我們採用以下四種方法來確定 Z 反變換。

在這種方法中，訊號 x(z) 的 Z 變換可以表示為多項式的比率，如下所示：

$$x(z)=N(Z)/D(Z)$$

現在，如果我們繼續用分母去除分子，我們將得到如下所示的級數

$$X(z) = x(0)+x(1)Z^{-1}+x(2)Z^{-2}+...\quad...\quad...$$

上述序列表示給定訊號的 Z 反變換級數（對於 n≥0），並且上述系統是因果的。

然而，對於 n<0，級數可以寫成：

$$x(z) = x(-1)Z^1+x(-2)Z^2+x(-3)Z^3+...\quad...\quad...$$

這裡，訊號也首先以 N(z)/D(z) 的形式表示。

如果它是分數有理式，它將表示如下：

$x(z) = b_0+b_1Z^{-1}+b_2Z^{-2}+...\quad...\quad...+b_mZ^{-m})/(a_0+a_1Z^{-1}+a_2Z^{-2}+...\quad...\quad...+a_nZ^{-N})$

當 m<n 且 an≠0 時，上述為非真分數。

如果比率不是真分數（即非真分數），則我們必須將其轉換為真分數形式才能求解。

在這種方法中，我們透過對所有極點處的 $[x(z)Z^{n-1}]$ 的留數求和來獲得 Z 反變換 x(n)。數學上，這可以表示為

$$x(n) = \displaystyle\sum\limits_{所有極點 X(z)}[x(z)Z^{n-1}] 的留數$$

這裡，在 $z = \beta$ 處任何 m 階極點的留數為

$$留數 = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{Z \rightarrow \beta}\lbrace \frac{d^{m-1}}{dZ^{m-1}}\lbrace (z-\beta)^mX(z)Z^{n-1}\rbrace$$

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