DSP - 離散時間訊號的分類

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就像連續時間訊號一樣，離散時間訊號可以根據訊號的條件或運算進行分類。

偶訊號和奇訊號

偶訊號

如果訊號滿足以下條件，則稱該訊號為偶訊號或對稱訊號：

$$x(-n) = x(n)$$

這裡，我們可以看到 x(-1) = x(1)，x(-2) = x(2) 以及 x(-n) = x(n)。因此，這是一個偶訊號。

奇訊號

如果訊號滿足以下條件，則稱該訊號為奇訊號：

$$x(-n) = -x(n)$$

從圖中我們可以看到 x(1) = -x(-1)，x(2) = -x(2) 以及 x(n) = -x(-n)。因此，它是一個奇訊號，也是一個反對稱訊號。

週期訊號和非週期訊號

離散時間訊號是週期性的，當且僅當它滿足以下條件：

$$x(n+N) = x(n)$$

這裡，x(n) 訊號在 N 週期後重復自身。這可以透過考慮餘弦訊號來最好地理解：

$$x(n) = A \cos(2\pi f_{0}n+\theta)$$ $$x(n+N) = A\cos(2\pi f_{0}(n+N)+\theta) = A\cos(2\pi f_{0}n+2\pi f_{0}N+\theta)$$ $$= A\cos(2\pi f_{0}n+2\pi f_{0}N+\theta)$$

為了使訊號成為週期性的，應滿足以下條件：

$$x(n+N) = x(n)$$ $$\Rightarrow A\cos(2\pi f_{0}n+2\pi f_{0}N+\theta) = A \cos(2\pi f_{0}n+\theta)$$

即 $2\pi f_{0}N$ 是 $2\pi$ 的整數倍

$$2\pi f_{0}N = 2\pi K$$ $$\Rightarrow N = \frac{K}{f_{0}}$$

離散正弦訊號的頻率間隔為 $2\pi$ 的整數倍。

能量訊號和功率訊號

能量訊號

離散時間訊號的能量表示為 E。在數學上，它可以寫成：

$$E = \displaystyle \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)|^2$$

如果對 $x(n)$ 的每個單獨值進行平方並相加，我們得到能量訊號。這裡 $x(n)$ 是能量訊號，其能量在時間上是有限的，即 $0< E< \infty$

功率訊號

離散訊號的平均功率表示為 P。在數學上，這可以寫成：

$$P = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1}\displaystyle\sum\limits_{n=-N}^{+N} |x(n)|^2$$

這裡，功率是有限的，即 0<P<∞。但是，也有一些訊號既不屬於能量訊號也不屬於功率訊號。