- 數字訊號處理教程
- 數字訊號處理 - 首頁
- 數字訊號處理 - 訊號定義
- 數字訊號處理 - 基本連續時間訊號
- 數字訊號處理 - 基本離散時間訊號
- 數字訊號處理 - 連續時間訊號的分類
- 數字訊號處理 - 離散時間訊號的分類
- 數字訊號處理 - 其他訊號
- 基本系統特性
- 數字訊號處理 - 靜態系統
- 數字訊號處理 - 動態系統
- 數字訊號處理 - 因果系統
- 數字訊號處理 - 非因果系統
- 數字訊號處理 - 反因果系統
- 數字訊號處理 - 線性系統
- 數字訊號處理 - 非線性系統
- 數字訊號處理 - 時不變系統
- 數字訊號處理 - 時變系統
- 數字訊號處理 - 穩定系統
- 數字訊號處理 - 不穩定系統
- 數字訊號處理 - 例題解析
- 數字訊號處理資源
- 數字訊號處理 - 快速指南
- 數字訊號處理 - 有用資源
- 數字訊號處理 - 討論
數字訊號處理 - Z 變換簡介
離散時間傅立葉變換 (DTFT) 存在於能量訊號和功率訊號中。Z 變換也存在於既不是能量也不是功率 (NENP) 型別的訊號中，但僅在一定程度上。替換 $z=e^{jw}$ 僅用於將 Z 變換轉換為 DTFT，僅適用於絕對可和訊號。
因此，離散時間訊號 x(n) 的 Z 變換可以用冪級數表示為 -
$$X(z) = \sum_{n-\infty}^\infty x(n)Z^{-n}$$上述等式表示一個雙邊 Z 變換等式。
通常，當一個訊號進行 Z 變換時，它可以表示為 -
$$X(Z) = Z[x(n)]$$或者 $x(n) \longleftrightarrow X(Z)$
如果是連續時間訊號，則不需要 Z 變換，因為使用拉普拉斯變換。但是，離散時間訊號只能透過 Z 變換進行分析。
收斂域
收斂域是 Z 平面中復變數 Z 的範圍。訊號的 Z 變換是有限的或收斂的。因此，ROC 表示 X(Z) 具有有限值的 Z 值集合。
ROC 的性質
- ROC 不包含任何極點。
- 對於右半邊訊號，ROC 將在 Z 平面的圓外。
- 對於左半邊訊號，ROC 將在 Z 平面的圓內。
- 對於穩定性，ROC 包含 Z 平面上的單位圓。
- 對於雙邊訊號，ROC 是 Z 平面上的環。
- 對於有限持續時間訊號，ROC 是整個 Z 平面。
Z 變換由以下因素唯一確定 -
- X(Z) 的表示式
- X(Z) 的 ROC
訊號及其 ROC
| x(n) | X(Z) | ROC |
|---|---|---|
| $\delta(n)$ | $1$ | 整個 Z 平面 |
| $U(n)$ | $1/(1-Z^{-1})$ | |Z|>1 |
| $a^nu(n)$ | $1/(1-aZ^{-1})$ | |Z|>|a| |
| $-a^nu(-n-1)$ | $1/(1-aZ^{-1})$ | |Z|<|a| |
| $na^nu(n)$ | $aZ^{-1}/(1-aZ^{-1})^2$ | |Z|>|a| |
| $-a^nu(-n-1)$ | $aZ^{-1}/(1-aZ^{-1})^2$ | |Z|<|a| |
| $U(n)\cos \omega n$ | $(Z^2-Z\cos \omega)/(Z^2-2Z \cos \omega +1)$ | |Z|>1 |
| $U(n)\sin \omega n$ | $(Z\sin \omega)/(Z^2-2Z \cos \omega +1)$ | |Z|>1 |
示例
讓我們找到給定訊號 $x(n) = \lbrace 7,3,4,9,5\rbrace$ 的 Z 變換和 ROC，其中級數的原點在 3 處。
解 - 應用公式，我們有 -
$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)Z^{-n}$
$= \sum_{n=-1}^3 x(n)Z^{-n}$
$= x(-1)Z+x(0)+x(1)Z^{-1}+x(2)Z^{-2}+x(3)Z^{-3}$
$= 7Z+3+4Z^{-1}+9Z^{-2}+5Z^{-3}$
ROC 是整個 Z 平面，不包括 Z = 0、∞、-∞
廣告