數字訊號處理 - DFT簡介

類似於連續時間訊號傅立葉變換，離散時間傅立葉變換可以用來將離散序列表示為其等效的頻域表示，並用於分析線性時不變離散時間系統並開發各種計算演算法。

在連續傅立葉變換中，X(jω)是x(n)的連續函式。然而，DFT處理的是用其頻譜X(ω)的樣本表示x(n)。因此，這種數學工具在方便的表示中具有重要的計算意義。週期性和非週期性序列都可以透過此工具進行處理。週期性序列需要透過將週期擴充套件到無窮大來進行取樣。

頻域取樣

從引言中可以看出，我們需要知道如何進行頻域取樣，即取樣X(ω)。因此，取樣傅立葉變換和DFT之間的關係如下所示。

同樣，週期序列可以透過將週期N擴充套件到無窮大來適應此工具。

設一個非週期序列為：$X(n) = \lim_{N \to \infty}x_N(n)$

定義其傅立葉變換：

$X(\omega ) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-jwn}X(K\delta \omega)$...式(1)

這裡，X(ω)以每個δω弧度間隔週期性地取樣。

由於X(ω)在2π弧度內是週期的，我們只需要在基本範圍內取樣。樣本在0≤ω≤2π的頻率範圍內以等距間隔採集。等效間隔之間的間距為$\delta \omega = \frac{2\pi }{N}k$弧度。

現在求值，$\omega = \frac{2\pi}{N}k$

$X(\frac{2\pi}{N}k) = \sum_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{-j2\pi nk/N},$ ...式(2)

其中k=0,1,……N-1

細分上述公式，並交換求和順序

$X(\frac{2\pi}{N}k) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}[\displaystyle\sum\limits_{l = -\infty}^\infty x(n-Nl)]e^{-j2\pi nk/N}$ ...式(3)

$\sum_{l=-\infty}^\infty x(n-Nl) = x_p(n) = 一個週期為N的週期函式，其傅立葉級數 = \sum_{k = 0}^{N-1}C_ke^{j2\pi nk/N}$

其中，n = 0,1,…..,N-1；‘p’代表週期性實體或函式

傅立葉係數為：

$C_k = \frac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1}x_p(n)e^{-j2\pi nk/N}$k=0,1,…,N-1...式(4)

比較式(3)和式(4)，我們得到：

$NC_k = X(\frac{2\pi}{N}k)$ k=0,1,…,N-1...式(5)

$NC_k = X(\frac{2\pi}{N}k) = X(e^{jw}) = \displaystyle\sum\limits_{n = -\infty}^\infty x_p(n)e^{-j2\pi nk/N}$...式(6)

從傅立葉級數展開式：

$x_p(n) = \frac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{k = 0}^{N-1}NC_ke^{j2\pi nk/N} = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(\frac{2\pi}{N}k)e^{j2\pi nk/N}$...式(7)

其中n=0,1,…,N-1

在這裡，我們從X(ω)得到了週期訊號。只有當時域中沒有混疊時，才能從$x_p(n)$中提取$x(n)$。$N\geq L$

N = $x_p(n)$的週期 L = $x(n)$的週期

$x(n) = \begin{cases}x_p(n), & 0\leq n\leq N-1\\0, & 其他\end{cases}$

對映以這種方式實現。

DFT的性質

線性性

它指出，訊號組合的DFT等於各個訊號DFT的和。讓我們取兩個訊號x₁(n)和x₂(n)，它們的DFT分別為X₁(ω)和X₂(ω)。所以，如果

$x_1(n)\rightarrow X_1(\omega)$和$x_2(n)\rightarrow X_2(\omega)$

那麼 $ax_1(n)+bx_2(n)\rightarrow aX_1(\omega)+bX_2(\omega)$

其中a和b是常數。

對稱性

DFT的對稱性可以像我們推導DTFT對稱性一樣推匯出來。我們知道序列x(n)的DFT用X(K)表示。現在，如果x(n)和X(K)是復值序列，那麼它可以表示為：

$x(n) = x_R(n)+jx_I(n),0\leq n\leq N-1$

和 $X(K) = X_R(K)+jX_I(K),0\leq K\leq N-1$

對偶性

讓我們考慮一個訊號x(n)，其DFT為X(K)。設有限持續時間序列為X(N)。然後根據對偶定理，

如果，$x(n)\longleftrightarrow X(K)$

那麼，$X(N)\longleftrightarrow Nx[((-k))_N]$

因此，利用這個定理，如果我們知道DFT，就可以很容易地找到有限持續時間序列。

複共軛性質

假設有一個訊號x(n)，其DFT為X(K)。現在，如果訊號的複共軛為x*(n)，那麼我們可以利用下面的定理很容易地找到DFT，而無需進行太多計算。

如果，$x(n)\longleftrightarrow X(K)$

那麼，$x*(n)\longleftrightarrow X*((K))_N = X*(N-K)$

圓頻率移位

序列x(n)與復指數序列$e^{j2\Pi kn/N}$的乘積等價於DFT在頻率上迴圈移位L個單位。這是迴圈時間移位性質的對偶。

如果，$x(n)\longleftrightarrow X(K)$

那麼，$x(n)e^{j2\Pi Kn/N}\longleftrightarrow X((K-L))_N$

兩個序列的乘法

如果有兩個訊號x₁(n)和x₂(n)，它們各自的DFT為X₁(k)和X₂(K)，那麼時序中訊號的乘法對應於其DFT的圓周卷積。

如果，$x_1(n)\longleftrightarrow X_1(K)\quad\&\quad x_2(n)\longleftrightarrow X_2(K)$

帕塞瓦爾定理

對於復值序列x(n)和y(n)，一般來說

如果，$x(n)\longleftrightarrow X(K)\quad \&\quad y(n)\longleftrightarrow Y(K)$

那麼，$\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)y^*(n) = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(K)Y^*(K)$

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