數字訊號處理 - DFT分段卷積

假設，需要使用具有有限持續時間衝激響應的系統來處理長時間輸入序列x(n)，方法是將兩個序列進行卷積。由於透過DFT執行的線性濾波涉及對固定大小的資料塊進行運算，因此在處理之前，將輸入序列劃分為不同的固定大小的資料塊。

然後一次處理連續的塊，並將結果組合以產生淨結果。

由於卷積是透過將長的輸入序列劃分為不同的固定大小的部分來執行的，因此它被稱為分段卷積。在進行FIR濾波器處理之前，將長的輸入序列分割成固定大小的塊。

有兩種方法可以評估離散卷積：

重疊儲存法

重疊儲存是一種評估非常長的訊號x(n)和有限脈衝響應(FIR)濾波器h(n)之間的離散卷積的有效方法的傳統名稱。以下是重疊儲存法的步驟：

設輸入資料塊長度 = N = L+M-1。因此，DFT和IDFT長度 = N。每個資料塊包含前一個塊的M-1個數據點，然後是L個新的資料點，形成長度為N = L+M-1的資料序列。

首先，計算每個資料塊的N點DFT。
透過附加(L-1)個零，FIR濾波器的衝激響應長度增加，並計算和儲存N點DFT。
兩個N點DFT H(k)和X_m(k)的乘法：Y′_m(k) = H(k).X_m(k)，其中K=0,1,2,…N-1
然後，IDFT[Y′_m((k)] = y′((n) = [y′_m(0), y′_m(1), y′_m(2),.......y′_m(M-1), y′_m(M),.......y′_m(N-1)]

（此處，N-1 = L+M-2）
由於混疊，前M-1個點被破壞，因此由於資料記錄的長度為N，因此將其丟棄。
最後L個點與卷積的結果完全相同，因此

y′_m (n) = y_m(n) 其中 n = M, M+1,….N-1
為了避免混疊，儲存每個資料記錄的最後M-1個元素，這些點將傳遞到後續記錄併成為前M-1個元素。

以下是使用重疊相加法求解離散卷積的步驟：

設輸入資料塊大小為L。因此，DFT和IDFT的大小：N = L+M-1

兩個N點DFT相乘：Y_m(k) = H(k).X_m(k)，其中k = 0,,1,2,….,N-1
IDFT [Y_m(k)]產生長度為N的塊，這些塊不受混疊的影響，因為DFT的大小為N = L+M-1，並且透過向每個塊附加M-1個零來將序列的長度增加到N點。
每個塊的最後M-1個點必須與後續塊的前M-1個點重疊並相加。

（原因：每個資料塊以M-1個零結尾）

因此，這種方法被稱為重疊相加法。因此，我們得到：

y(n) = {y₁(0), y₁(1), y₁(2), ... .., y₁(L-1), y₁(L)+y₂(0), y₁(L+1)+y₂(1), ... ... .., y₁(N-1)+y₂(M-1),y₂(M), ... ... ... ... ... }

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