數字訊號處理 - 訊號運算 卷積

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兩個訊號在時域的卷積等效於它們在頻域表示的乘積。數學上，我們可以將兩個訊號的卷積寫成

$$y(t) = x_{1}(t)*x_{2}(t)$$ $$= \int_{-\infty}^{\infty}x_{1}(p).x_{2}(t-p)dp$$

卷積步驟

• 取訊號x₁(t)並將t=p代入，使其變為x₁(p)。
• 取訊號x₂(t)，執行步驟1，使其變為x₂(p)。
• 對訊號進行摺疊，即x₂(-p)。
• 對上述訊號進行時間平移x₂[-(p-t)]
• 然後將兩個訊號相乘，即$x_{1}(p).x_{2}[−(p−t)]$

示例

讓我們計算一個階躍訊號u(t)與其自身的卷積。

$y(t) = u(t)*u(t)$

$= \int_{-\infty}^{\infty}[u(p).u[-(p-t)]dp$

現在這個t可以大於或小於零，如下面的圖形所示

因此，根據上述情況，結果出現以下可能性

$y(t) = \begin{cases}0, & if\quad t<0\\\int_{0}^{t}1dt, & for\quad t>0\end{cases}$

$= \begin{cases}0, & if\quad t<0\\t, & t>0\end{cases} = r(t)$

卷積的性質

交換律

它指出卷積的順序無關緊要，這可以用數學方式表示為

$$x_{1}(t)*x_{2}(t) = x_{2}(t)*x_{1}(t)$$

結合律

它指出涉及三個訊號的卷積順序可以是任意的。數學上，可以表示為：

$$x_{1}(t)*[x_{2}(t)*x_{3}(t)] = [x_{1}(t)*x_{2}(t)]*x_{3}(t)$$

分配律

可以先將兩個訊號相加，然後將其卷積與第三個訊號進行卷積。這等效於將兩個訊號分別與第三個訊號進行卷積，然後最終相加。數學上，這可以寫成：

$$x_{1}(t)*[x_{2}(t)+x_{3}(t)] = [x_{1}(t)*x_{2}(t)+x_{1}(t)*x_{3}(t)]$$

面積

如果一個訊號是兩個訊號卷積的結果，則該訊號的面積是這兩個訊號面積的乘積。數學上可以寫成

如果 $y(t) = x_{1}*x_{2}(t)$

則， y(t)的面積 = x₁(t)的面積 × x₂(t)的面積

尺度變換

如果兩個訊號按某個未知常數“a”進行縮放，然後進行卷積，則結果訊號也將按相同的常數“a”進行卷積，並將除以該數量，如下所示。

如果， $x_{1}(t)*x_{2}(t) = y(t)$

則， $x_{1}(at)*x_{2}(at) = \frac{y(at)}{a}, a \ne 0$

延遲

假設訊號y(t)是兩個訊號x1(t)和x2(t)卷積的結果。如果這兩個訊號分別延遲t1和t2時間，則結果訊號y(t)將延遲(t1+t2)。數學上，可以寫成：

如果， $x_{1}(t)*x_{2}(t) = y(t)$

則， $x_{1}(t-t_{1})*x_{2}(t-t_{2}) = y[t-(t_{1}+t_{2})]$

例題解析

例1 - 求訊號u(t-1)和u(t-2)的卷積。

解答 - 給定的訊號是u(t-1)和u(t-2)。它們的卷積可以如下所示：

$y(t) = u(t-1)*u(t-2)$

$y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}[u(t-1).u(t-2)]dt$

$= r(t-1)+r(t-2)$

$= r(t-3)$

例2 - 求由下式給出的兩個訊號的卷積

$x_{1}(n) = \lbrace 3,-2, 2\rbrace $

$x_{2}(n) = \begin{cases}2, & 0\leq n\leq 4\\0, & x > elsewhere\end{cases}$

解答 -

x₂(n)可以解碼為$x_{2}(n) = \lbrace 2,2,2,2,2\rbrace$ (起始點為0)

x₁(n)先前給出$= \lbrace 3,-2,3\rbrace = 3-2Z^{-1}+2Z^{-2}$

類似地， $x_{2}(z) = 2+2Z^{-1}+2Z^{-2}+2Z^{-3}+2Z^{-4}$

結果訊號為：

$X(Z) = X_{1}(Z)X_{2}(z)$

$= \lbrace 3-2Z^{-1}+2Z^{-2}\rbrace \times \lbrace 2+2Z^{-1}+2Z^{-2}+2Z^{-3}+2Z^{-4}\rbrace$

$= 6+2Z^{-1}+6Z^{-2}+6Z^{-3}+6Z^{-4}+6Z^{-5}$

對上述結果進行逆Z變換，我們將得到結果訊號為

$x(n) = \lbrace 6,2,6,6,6,0,4\rbrace$ (起始點為0)

例3 - 確定以下兩個訊號的卷積：

$x(n) = \lbrace 2,1,0,1\rbrace$

$h(n) = \lbrace 1,2,3,1\rbrace$

解答 -

對訊號進行Z變換，得到：

$x(z) = 2+Z^{-1}+Z^{-3}$

以及 $h(n) = 1+2Z^{-1}+3Z^{-2}+Z^{-3}$

現在，兩個訊號的卷積意味著它們的Z變換的乘積

也就是說 $Y(Z) = X(Z) \times h(Z)$

$= \lbrace 2+Z^{-1}+Z^{-3}\rbrace \times \lbrace 1+2Z^{-1}+3Z^{-2}+Z^{-3}\rbrace$

$= \lbrace 2+5Z^{-1}+8Z^{-2}+6Z^{-3}+3Z^{-4}+Z^{-5}\rbrace$ (修正了計算錯誤)

進行逆Z變換，結果訊號可以寫成：

$y(n) = \lbrace 2,5,8,6,3,1\rbrace$ (起始點為0) (修正了計算錯誤)