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數字訊號處理 - 原地計算
這種高效的記憶體使用對於設計快速計算FFT的硬體至關重要。“原地計算”這一術語用來描述這種記憶體使用方式。
按時間抽取序列
在這種結構中,我們將所有點表示為二進位制格式,即0和1。然後,我們反轉這些結構。之後得到的序列稱為位反轉序列。這也被稱為按時間抽取序列。八點DFT的原地計算如表所示:
點數 | 二進位制格式 | 反轉 | 等效點數 |
---|---|---|---|
0 | 000 | 000 | 0 |
1 | 001 | 100 | 4 |
2 | 010 | 010 | 2 |
3 | 011 | 110 | 6 |
4 | 100 | 001 | 1 |
5 | 101 | 101 | 5 |
6 | 110 | 011 | 3 |
7 | 111 | 111 | 7 |

按頻率抽取序列
除了時間序列,N點序列也可以在頻率域表示。讓我們以一個四點序列為例來更好地理解它。
令序列為$x[0], x[1], x[2], x[3], x[4], x[5], x[6], x[7]$。我們首先將兩個點分成一組。數學上,這個序列可以寫成:
$$x[k] = \sum_{n = 0}^{N-1}x[n]W_N^{nk}$$現在讓我們將序列號0到3分成一組,將序列4到7分成另一組。數學上,這可以表示為:
$$\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{\frac{N}{2}-1}x[n]W_N^{nk}+\displaystyle\sum\limits_{n = N/2}^{N-1}x[n]W_N^{nk}$$令r=n,其中r = 0, 1, 2….(N/2-1)。數學上,
$$\displaystyle\sum\limits_{r = 0}^{\frac{N}{2}-1}x[r]W_{N/2}^{rk}$$我們首先取前四個點 (x[0], x[1], x[2], x[3]),並嘗試用以下方式在數學上表示它們:
$\sum_{n = 0}^3x[n]W_8^{nk}+\sum_{n = 0}^3x[n+4]W_8^{(n+4)k}$
$= \lbrace \sum_{n = 0}^3x[n]+\sum_{n = 0}^3x[n+4]W_8^{4k}\rbrace \times W_8^{nk}$
現在 $X[0] = \sum_{n = 0}^3(X[n]+X[n+4])$
$X[1] = \sum_{n = 0}^3(X[n]+X[n+4])W_8^{nk}$
$= [X[0]-X[4]+(X[1]-X[5])W_8^1+(X[2]-X[6])W_8^2+(X[3]-X[7])W_8^3$
我們可以進一步將其分解成兩部分,這意味著我們可以將其分解成2點序列,而不是4點序列。
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