數字訊號處理 - 線性系統

線性系統遵循疊加原理。該定律是證明系統線性的充分必要條件。除此之外，該系統是兩種定律的組合：

• 可加性定律
• 齊次性定律

上述圖形顯示了齊次性定律和可加性定律。但是，還有一些其他條件可以用來檢查系統是否線性。

條件如下：

• 零輸入時輸出應為零。
• 系統中不應存在任何非線性運算元。

非線性運算元的例子：

(a) 三角函式運算元 - 正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割等。

(b) 指數、對數、模、平方、立方等。

(c) sa(輸入), sinc(輸入), sqn(輸入) 等。

輸入 x 或輸出 y 不應包含這些非線性運算元。

示例

讓我們找出以下系統是否是線性的。

a) $y(t) = x(t)+3$

該系統不是線性系統，因為它違反了第一個條件。如果我們將輸入設為零，即 x(t) = 0，則輸出不為零。

b) $y(t) = \sin tx(t)$

在這個系統中，如果我們輸入為零，輸出將變為零。因此，第一個條件顯然滿足。同樣，沒有對 x(t) 應用任何非線性運算元。因此，第二個條件也滿足。因此，該系統是線性系統。

c) $y(t) = \sin (x(t))$

在上述系統中，第一個條件滿足，因為如果我們設 x(t) = 0，輸出也將為 sin(0) = 0。但是，第二個條件不滿足，因為存在對 x(t) 進行運算的非線性運算元。因此，該系統不是線性的。