數字訊號處理 - DFT時頻變換

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我們知道，當$\omega = 2\pi K/N$且$N\rightarrow \infty$時，$\omega$變成連續變數，求和限制變為$-\infty$到$+\infty$。

因此，

$$NC_k = X(\frac{2\pi}{N}k) = X(e^{j\omega}) = \displaystyle\sum\limits_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{\frac{-j2\pi nk}{N}} = \displaystyle\sum\limits_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{-j\omega n}$$

離散時間傅立葉變換 (DTFT)

我們知道，$X(e^{j\omega}) = \sum_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{-j\omega n}$

其中，$X(e^{j\omega})$是連續的，並且關於ω以2π為週期。…eq(1)

現在，

$x_p(n) = \sum_{k = 0}^{N-1}NC_ke^{j2 \pi nk/N}$ … 由傅立葉級數得到

$x_p(n) = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=0}^{N-1}NC_ke^{j2\pi nk/N}\times \frac{2\pi}{N}$

ω變為連續，$\frac{2\pi}{N}\rightarrow d\omega$，因為上述原因。

$x(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{n = 0}^{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega$…eq(2)

離散時間傅立葉變換的逆變換

符號表示為：

$x(n)\Longleftrightarrow x(e^{j\omega})$(傅立葉變換對)

對於非週期序列x(n)，離散時間傅立葉變換存在的充要條件是絕對可和。

即$\sum_{n = -\infty}^\infty|x(n)|<\infty$

DTFT的性質

• 線性性 : $a_1x_1(n)+a_2x_2(n)\Leftrightarrow a_1X_1(e^{j\omega})+a_2X_2(e^{j\omega})$

• 時移 − $x(n-k)\Leftrightarrow e^{-j\omega k}.X(e^{j\omega})$

• 時間反轉 − $x(-n)\Leftrightarrow X(e^{-j\omega})$

• 頻移 − $e^{j\omega _0n}x(n)\Leftrightarrow X(e^{j(\omega -\omega _0)})$

• 頻域微分 − $nx(n) = j\frac{d}{d\omega}X(e^{j\omega})$

• 卷積 − $x_1(n)*x_2(n)\Leftrightarrow X_1(e^{j\omega})\times X_2(e^{j\omega})$

• 乘積 − $x_1(n)\times x_2(n)\Leftrightarrow X_1(e^{j\omega})*X_2(e^{j\omega})$

• 互相關 − $y_{x_1\times x_2}(l)\Leftrightarrow X_1(e^{j\omega})\times X_2(e^{j\omega})$

• 調製定理 − $x(n)\cos \omega _0n = \frac{1}{2}[X_1(e^{j(\omega +\omega _0})*X_2(e^{jw})$

• 對稱性 −$x^*(n)\Leftrightarrow X^*(e^{-j\omega})$ ;

  $x^*(-n)\Leftrightarrow X^*(e^{j\omega})$ ;

  $Real[x(n)]\Leftrightarrow X_{even}(e^{j\omega})$ ;

  $Imag[x(n)]\Leftrightarrow X_{odd}(e^{j\omega})$ ;

  $x_{even}(n)\Leftrightarrow Real[x(e^{j\omega})]$ ;

  $x_{odd}(n)\Leftrightarrow Imag[x(e^{j\omega})]$ ;

• 帕塞瓦爾定理 − $\sum_{-\infty}^\infty|x_1(n)|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X_1(e^{j\omega})|^2d\omega$

之前，我們研究了頻域取樣。利用這些基本知識，我們在頻域對$X(e^{j\omega})$進行取樣，以便可以從這些取樣資料進行方便的數字分析。因此，DFT在時域和頻域都進行了取樣。假設$x(n) = x_p(n)$

因此，DFT表示為 -

$X(k) = DFT[x(n)] = X(\frac{2\pi}{N}k) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)e^{-\frac{j2\pi nk}{N}}$,k=0,1,….,N−1…eq(3)

IDFT表示為 -

$X(n) = IDFT[X(k)] = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(k)e^{\frac{j2\pi nk}{N}}$,n=0,1,….,N−1…eq(4)

$\therefore x(n)\Leftrightarrow X(k)$

旋轉因子

表示為$W_N$，定義為$W_N = e^{-j2\pi /N}$。其幅值始終保持為單位。$W_N$的相位為$-2\pi /N$。它是在單位圓上的一個向量，用於計算方便。數學上可以表示為 -

$W_N^r = W_N^{r\pm N} = W_N^{r\pm 2N} = ...$

• 它是r的函式，週期為N。

  考慮N = 8，r = 0,1,2,3,….14,15,16,….

  $\Longleftrightarrow W_8^0 = W_8^8 = W_8^{16} = ... = ... = W_8^{32} = ... =1= 1\angle 0$

• $W_8^1 = W_8^9 = W_8^{17} = ... = ... = W_8^{33} = ... =\frac{1}{\sqrt 2}= j\frac{1}{\sqrt 2} = 1\angle-\frac{\pi}{4}$

線性變換

讓我們瞭解一下線性變換 -

我們知道，

$DFT(k) = DFT[x(n)] = X(\frac{2\pi}{N}k) = \sum_{n = 0}^{N-1}x(n).W_n^{-nk};\quad k = 0,1,….,N−1$

$x(n) = IDFT[X(k)] = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(k).W_N^{-nk};\quad n = 0,1,….,N−1$

注意 - DFT的計算需要N²次複數乘法和N(N-1)次複數加法。

$x_N = \begin{bmatrix}x(0)\\x(1)\\.\\.\\x(N-1) \end{bmatrix}\quad N\quad 點\quad 向量\quad 表示\quad 訊號\quad x_N$

$X_N = \begin{bmatrix}X(0)\\X(1)\\.\\.\\X(N-1) \end{bmatrix}\quad N\quad 點\quad 向量\quad 表示\quad 訊號\quad X_N$

$\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & ... & ... & 1\\1 & W_N & W_N^2 & ... & ... & W_N^{N-1}\\. & W_N^2 & W_N^4 & ... & ... & W_N^{2(N-1)}\\.\\1 & W_N^{N-1} & W_N^{2(N-1)} & ... & ... & W_N^{(N-1)(N-1)} \end{bmatrix}$

N點DFT的矩陣形式表示為 - $X_N = W_Nx_N$

$W_N\longmapsto$ 線性變換矩陣

$現在，\quad x_N = W_N^{-1}X_N$

IDFT的矩陣形式表示為

$$x_N = \frac{1}{N}W_N^*X_N$$

比較$x_N$的兩個表示式，$\quad W_N^{-1} = \frac{1}{N}W_N^*$ 且 $W_N\times W_N^* = N[I]_{N\times N}$

因此，$W_N$是一個線性變換矩陣，一個正交（酉）矩陣。

根據$W_N$的週期性和對稱性，可以得出結論，$W_N^{k+N/2} = -W_N^k$

迴圈對稱性

長度為N≤L的有限持續時間x(n)的N點DFT等效於x(n)的週期延拓，即週期為N的$x_p(n)$的N點DFT。且$x_p(n) = \sum_{l = -\infty}^\infty x(n-Nl)$。現在，如果我們將序列（一個週期序列）向右移動k個單位，則會得到另一個週期序列。這稱為迴圈移位，表示為：

$$x_p^\prime (n) = x_p(n-k) = \sum_{l = -\infty}^\infty x(n-k-Nl)$$

新的有限序列可以表示為

$$x_p^\prime (n) = \begin{cases}x_p^\prime(n), & 0\leq n\leq N-1\\0 & 其他情況\end{cases}$$

示例 - 令x(n)= {1,2,4,3}，N = 4，

$x_p^\prime (n) = x(n-k,模\quad N)\equiv x((n-k))_N\quad;例如-如果\quad k=2即\quad 向右移動2個單位\quad 且\quad N = 4，$

假設順時針方向為正方向。

我們得到，$x\prime(n) = x((n-2))_4$

$x\prime(0) = x((-2))_4 = x(2) = 4$

$x\prime(1) = x((-1))_4 = x(3) = 3$

$x\prime(2) = x((-2))_4 = x(0) = 1$

$x\prime(3) = x((1))_4 = x(1) = 2$

結論 - N點序列的迴圈移位等效於其週期延拓的線性移位，反之亦然。

迴圈偶序列 - $x(N-n) = x(n),\quad 1\leq n\leq N-1$

$即x_p(n) = x_p(-n) = x_p(N-n)$

共軛偶 -$x_p(n) = x_p^*(N-n)$

迴圈奇序列 - $x(N-n) = -x(n),\quad 1\leq n\leq N-1$

$即x_p(n) = -x_p(-n) = -x_p(N-n)$

共軛奇 - $x_p(n) = -x_p^*(N-n)$

現在，$x_p(n) = x_{pe}+x_{po}(n)$，其中，

$x_{pe}(n) = \frac{1}{2}[x_p(n)+x_p^*(N-n)]$

$x_{po}(n) = \frac{1}{2}[x_p(n)-x_p^*(N-n)]$

對於任何實訊號x(n)，$X(k) = X^*(N-k)$

$X_R(k) = X_R(N-k)$

$X_l(k) = -X_l(N-k)$

$\angle X(k) = -\angle X(N-K)$

時間反轉 - 關於第0個樣本反轉樣本。表示為：

$x((-n))_N = x(N-n),\quad 0\leq n\leq N-1$

時間反轉是將序列的樣本沿順時針方向繪製，即假設為負方向。

其他一些重要性質

其他重要的IDFT性質 $x(n)\longleftrightarrow X(k)$

• 時間反轉 − $x((-n))_N = x(N-n)\longleftrightarrow X((-k))_N = X(N-k)$

• 迴圈時移 − $x((n-l))_N \longleftrightarrow X(k)e^{j2\pi lk/N}$

• 迴圈頻移 − $x(n)e^{j2\pi ln/N} \longleftrightarrow X((k-l))_N$

• 複共軛性質 −

  $x^*(n)\longleftrightarrow X^*((-k))_N = X^*(N-k)\quad 和$

  $x^*((-n))_N = x^*(N-n)\longleftrightarrow X^*(-k)$

• 兩個序列的乘積 −

  $x_1(n)\longleftrightarrow X_1(k)\quad 和\quad x_2(n)\longleftrightarrow X_2(k)$

  $\therefore x_1(n)x_2(n)\longleftrightarrow X_1(k)\quad Ⓝ X_2(k)$

• 迴圈卷積 − 和兩個DFT的乘積

  $x_1(k)\quad Ⓝ x_2(k) =\sum_{k = 0}^{N-1}x_1(n).x_2((m-n))_n,\quad m = 0,1,2,... .,N-1 $

  $x_1(k)\quad Ⓝ x_2(k)\longleftrightarrow X_1(k).X_2(k)$

• 迴圈相關 − 如果 $x(n)\longleftrightarrow X(k)$ 和 $y(n)\longleftrightarrow Y(k)$，則存在一個互相關序列，表示為$\bar Y_{xy}$，使得 $\bar Y_{xy}(l) = \sum_{n = 0}^{N-1}x(n)y^*((n-l))_N = X(k).Y^*(k)$

• 帕塞瓦爾定理 − 如果 $x(n)\longleftrightarrow X(k)$ 和 $y(n)\longleftrightarrow Y(k)$；

  $\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)y^*(n) = \frac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{n =0}^{N-1}X(k).Y^*(k)$