數字訊號處理 - CT 訊號分類

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連續時間訊號可以根據不同的條件或對訊號執行的操作進行分類。

偶訊號和奇訊號

偶訊號

如果訊號滿足以下條件，則稱其為偶訊號：

$$x(-t) = x(t)$$

這裡，訊號的時間反轉不會導致幅度發生任何變化。例如，考慮下面所示的三角波。

三角訊號是偶訊號，因為它關於 Y 軸對稱。我們可以說它是關於 Y 軸的映象。

考慮下圖所示的另一個訊號。

我們可以看到，上述訊號是偶訊號，因為它關於 Y 軸對稱。

奇訊號

如果訊號滿足以下條件，則稱其為奇訊號：

$$x(-t) = -x(t)$$

這裡，時間反轉和幅度變化同時發生。

在上圖中，我們可以看到一個階躍訊號 x(t)。為了測試它是否是奇訊號，我們首先進行時間反轉，即 x(-t)，結果如上圖所示。然後我們反轉所得訊號的幅度，即 –x(-t)，結果如上圖所示。

如果我們比較第一個和第三個波形，我們可以看到它們是相同的，即 x(t)= -x(-t)，這滿足我們的條件。因此，上述訊號是奇訊號。

一些與偶訊號和奇訊號相關的重要的結果如下所示。

• 偶 × 偶 = 偶
• 奇 × 奇 = 偶
• 偶 × 奇 = 奇
• 偶 ± 偶 = 偶
• 奇 ± 奇 = 奇
• 偶 ± 奇 = 既非偶也非奇

將任何訊號表示為偶數或奇數形式

有些訊號不能直接分類為偶數或奇數型別。它們表示為偶數和奇數訊號的組合。

$$x(t)\rightarrow x_{e}(t)+x_{0}(t)$$

其中 x_e(t) 表示偶訊號，x_o(t) 表示奇訊號

$$x_{e}(t)=\frac{[x(t)+x(-t)]}{2}$$

和

$$x_{0}(t)=\frac{[x(t)-x(-t)]}{2}$$

示例

求訊號 $x(n) = t+t^{2}+t^{3}$ 的偶數和奇數部分

解 − 反轉 x(n)，我們得到

$$x(-n) = -t+t^{2}-t^{3}$$

現在，根據公式，偶數部分

$$x_{e}(t) = \frac{x(t)+x(-t)}{2}$$

$$= \frac{[(t+t^{2}+t^{3})+(-t+t^{2}-t^{3})]}{2}$$

$$= t^{2}$$

類似地，根據公式，奇數部分是

$$x_{0}(t)=\frac{[x(t)-x(-t)]}{2}$$

$$= \frac{[(t+t^{2}+t^{3})-(-t+t^{2}-t^{3})]}{2}$$

$$= t+t^{3}$$

週期訊號和非週期訊號

週期訊號

週期訊號在一定時間間隔後重復自身。我們可以用等式形式表示為：

$$x(t) = x(t)\pm nT$$

其中，n = 整數 (1,2,3……)

T = 基波週期 (FTP) ≠ 0 且 ≠∞

基波週期 (FTP) 是訊號具有周期性的最小正定值。

上圖顯示了一個幅度為 A 的三角訊號。這裡，訊號每 1 秒重複一次。因此，我們可以說該訊號是週期性的，其 FTP 為 1 秒。

非週期訊號

簡單地說，我們可以說，不是週期性的訊號本質上是非週期性的。顯然，這些訊號不會在任何時間間隔後重復自身。

非週期訊號不遵循一定的格式；因此，沒有特定的數學方程可以描述它們。

能量訊號和功率訊號

當且僅當包含的總能量有限且非零 (0<E<∞) 時，訊號被稱為能量訊號。因此，對於任何能量型訊號，總歸一化訊號都是有限且非零的。

正弦交流電流訊號是能量型訊號的完美示例，因為它在一種情況下處於正半週期，而在下一半週期則為負。因此，其平均功率變為零。

無損電容器也是能量型訊號的完美示例，因為它在連線到電源時會充電到最佳水平，並且當電源移除時，它會透過負載耗散等量的能量，使其平均功率為零。

對於任何有限訊號 x(t)，能量可以表示為 E，並寫成：

$$E = \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2}(t)dt$$

能量型訊號的頻譜密度給出了分佈在各個頻率水平上的能量量。

功率型訊號

當且僅當歸一化平均功率有限且非零，即 (0<p<∞) 時，訊號被稱為功率型訊號。對於功率型訊號，歸一化平均功率是有限且非零的。幾乎所有周期訊號都是功率訊號，它們的平均功率是有限且非零的。

用數學形式表示，訊號 x(t) 的功率可以寫成：

$$P = \lim_{T \rightarrow \infty}1/T\int_{-T/2}^{+T/2} x^{2}(t)dt$$

能量訊號和功率訊號的區別

下表總結了能量訊號和功率訊號的區別。

例題解析

例 1 − 求訊號 $z(t) = 2\cos(3\Pi t+30^{o})+4\sin(3\Pi +30^{o})$ 的功率

解 − 上述兩個訊號彼此正交，因為它們的頻率項彼此相同，並且它們具有相同的相位差。因此，總功率將是各個功率的總和。

設 $z(t) = x(t)+y(t)$

其中 $x(t) = 2\cos (3\Pi t+30^{o})$ 和 $y(t) = 4\sin(3\Pi +30^{o})$

x(t) 的功率 = $\frac{2^{2}}{2} = 2$

y(t) 的功率 = $\frac{4^{2}}{2} = 8$

因此，$P(z) = p(x)+p(y) = 2+8 = 10$…答案。

例 2 − 測試給定訊號 $x(t) = t^{2}+j\sin t$ 是否為共軛訊號？

解 − 這裡，實部 t² 為偶數，虛部 (虛部) $\sin t$ 為奇數。所以上述訊號是共軛訊號。

例 3 − 驗證 $X(t)= \sin \omega t$ 是否為奇訊號或偶訊號。

解 − 給定 $X(t) = \sin \omega t$

透過時間反轉，我們將得到 $\sin (-\omega t)$

但我們知道 $\sin(-\phi) = -\sin \phi$。

因此，

$$ \sin (-\omega t) = -\sin \omega t $$

這滿足訊號為奇訊號的條件。因此，$\sin \omega t$ 是奇訊號。