DSP - 離散餘弦變換

DCT（離散餘弦變換）將一個 N 點輸入序列 x(n)，0≤n≤N-1，表示為復指數的線性變換或組合。因此，即使 x(n) 為實數，DFT 係數通常也是複數。

假設，我們嘗試找到一個具有 N×N 結構的正交變換，該變換將實數序列 x(n) 表示為餘弦序列的線性組合。我們已經知道：

$X(K) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)cos\frac{2\Pi kn}{N}0\leq k \leq N-1$

以及 $x(n) = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}x(k)cos\frac{2\Pi kn}{N}0\leq k \leq N-1$

如果 N 點序列 x(n) 是實數且偶數，則這是可能的。因此，$x(n) = x(N-n),0\leq n \leq (N-1)$。得到的 DFT 本身是實數且偶數。這些情況表明，我們可以透過對序列進行“偶數擴充套件”並取其 2N 點 DFT 來設計離散餘弦變換，適用於任何 N 點實數序列。

DCT 主要用於影像和語音處理。它還用於影像和語音訊號的壓縮。

$DFT[s(n)] = S(k) = \sum_{n = 0}^{2N-1}s(n)W_{2N}^{nk},\quad 其中\quad 0\leq k \leq 2N-1$

$S(k) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)W_{2N}^{nk}+\displaystyle\sum\limits_{n = N}^{2N-1}x(2N-n-1)W_{2N}^{nk};\quad 其中\quad 0\leq k\leq 2N-1$

$\Rightarrow S(k) = W_{2N}^{-k/2}+\sum_{n = 0}^{N-1}x(n) [W_{2N}^{nk}W_{2N}^{k/2}+W_{2N}^{-nk}W_{2N}^{-k/2}];\quad 其中\quad 0\leq k\leq 2N-1$

$\Rightarrow S(k) = W_{2N}^{\frac{k}{2}}\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)\cos [\frac{\pi}{N}(n+\frac{1}{2})k];\quad 其中\quad 0\leq k\leq 2N-1$

DCT 定義為：

$V(k) = 2\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)\cos [\frac{\pi}{2}(n+\frac{1}{2})k]\quad 其中\quad 0\leq k\leq N-1$

$\Rightarrow V(k) = W_{2N}^{\frac{k}{2}}S(k)\quad 或\quad S(k) = W_{2N}^{\frac{k}{2}}V(k),\quad 其中\quad 0\leq k\leq N-1$

$\Rightarrow V(k) = 2R[W_{2N}^{\frac{k}{2}}\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)W_{2N}^{nk}],\quad 其中\quad 0\leq k\leq N-1$