CBSE 12年級數學課程大綱

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課程結構

課程大綱

單元一：關係與函式

第1章：關係與函式

• 關係的型別 -
  • 自反
  • 對稱
  • 傳遞和等價關係
  • 一對一和滿射函式
  • 複合函式
  • 函式的反函式
  • 二元運算

第2章：反三角函式

• 定義、值域、定義域、主值分支
• 反三角函式的圖形
• 反三角函式的基本性質

單元二：代數

第1章：矩陣

• 概念、符號、階數、相等、矩陣的型別、零矩陣和單位矩陣、矩陣的轉置、對稱矩陣和反對稱矩陣。

• 矩陣運算：加法和乘法以及與標量的乘法

• 加法、乘法和標量乘法的簡單性質

• 矩陣乘法的非交換性以及積為零矩陣的非零矩陣的存在性（限於 2 階方陣）

• 初等行和列運算的概念

• 可逆矩陣和逆矩陣的唯一性證明（如果存在）；（這裡所有矩陣都具有實數項）。

第2章：行列式

• 方陣的行列式（最多 3 × 3 矩陣），行列式的性質，子式，代數餘子式以及行列式在求三角形面積中的應用

• 方陣的伴隨矩陣和逆矩陣

• 線性方程組的相容性、不相容性和解的個數（透過例子），使用矩陣的逆解二元或三元線性方程組（具有唯一解）

單元三：微積分

第1章：連續性和可導性

• 連續性和可導性，複合函式的導數，鏈式法則，反三角函式的導數，隱函式的導數

• 指數函式和對數函式的概念。

• 對數函式和指數函式的導數

• 對數微分，引數形式表示的函式的導數。二階導數

• 羅爾定理和拉格朗日中值定理（不證明）及其幾何解釋

第2章：導數的應用

• 導數的應用：物體的變化率，增函式/減函式，切線和法線，導數在近似中的應用，最大值和最小值（第一導數檢驗通過幾何方法激發，第二導數檢驗作為可證明的工具給出）

• 簡單問題（說明學科的基本原理和理解以及現實生活中的情況）

第3章：積分

• 積分作為微分的逆過程

• 用換元法、部分分式法和分部積分法求各種函式的積分

• 以下型別的簡單積分的計算以及基於它們的題目

  $\int \frac{dx}{x^2\pm {a^2}'}$, $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm {a^2}'}}$, $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$, $\int \frac{dx}{ax^2+bx+c} \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}$

  $\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c}dx$, $\int \frac{px+q}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx$, $\int \sqrt{a^2\pm x^2}dx$, $\int \sqrt{x^2-a^2}dx$

  $\int \sqrt{ax^2+bx+c}dx$, $\int \left ( px+q \right )\sqrt{ax^2+bx+c}dx$

• 定積分作為和的極限，微積分基本定理（不證明）

• 定積分的基本性質和定積分的計算

第4章：積分的應用

• 在求簡單曲線下面積中的應用，特別是直線、圓/拋物線/橢圓（僅限於標準形式）

• 上述任意兩條曲線之間的面積（區域應明確識別）

第5章：微分方程

• 微分方程的定義、階數和次數、通解和特解

• 已知通解的微分方程的構造

• 用分離變數法解微分方程，一階一級的齊次微分方程的解

• 以下型別的線性微分方程的解 -

  • dy/dx + py = q，其中 p 和 q 是 x 的函式或常數

  • dx/dy + px = q，其中 p 和 q 是 y 的函式或常數

單元四：向量與三維幾何

第1章：向量

• 向量和標量，向量的模和方向

• 向量的方向餘弦和方向數

• 向量的型別（相等向量、單位向量、零向量、平行向量和共線向量），點的位矢，向量的負向量，向量的分量，向量的加法，向量與標量的乘法，分線段按一定比例的點的位矢

• 向量的標積（點積）的定義、幾何解釋、性質和應用，向量的矢積（叉積），向量的標積（混合積）

第2章：三維幾何

• 連線兩點的直線的方向餘弦和方向數

• 直線的笛卡爾方程和向量方程，共面直線和異面直線，兩條直線之間的最短距離

• 平面的笛卡爾方程和向量方程

• 之間的夾角 -

  • 兩條直線

  • 兩個平面

  • 一條直線和平面

• 點到平面的距離

單元五：線性規劃

第1章：線性規劃

• 介紹
• 相關術語，例如 -
  • 約束條件
  • 目標函式
  • 最佳化
  • 不同型別的線性規劃 (L.P.) 問題
  • L.P. 問題的數學建模
  • 二元問題的圖解法
  • 可行域和不可行域（有界和無界）
  • 可行解和不可行解
  • 最優可行解（最多三個非平凡約束）

單元六：機率

第1章：機率

• 條件機率
• 機率的乘法定理
• 獨立事件，全機率
• 貝葉斯定理
• 隨機變數及其機率分佈
• 隨機變數的均值和方差
• 重複獨立（伯努利）試驗和二項分佈

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