控制系統 - 時間響應分析

---

---

我們可以分析控制系統在時域和頻域的響應。我們將在後面的章節中討論控制系統的頻率響應分析。現在讓我們討論控制系統的時間響應分析。

什麼是時間響應？

如果控制系統對輸入的輸出隨時間變化，則稱為控制系統的時間響應。時間響應由兩部分組成。

• 暫態響應
• 穩態響應

控制系統在時域的響應如下圖所示。

此處，圖中同時指出了暫態和穩態。對應於這些狀態的響應被稱為暫態響應和穩態響應。

數學上，我們可以將時間響應 c(t) 寫作

$$c(t)=c_{tr}(t)+c_{ss}(t)$$

其中，

• c_tr(t) 是暫態響應
• c_ss(t) 是穩態響應

暫態響應

對控制系統施加輸入後，輸出需要一定時間才能達到穩態。因此，在達到穩態之前，輸出將處於暫態。因此，控制系統在暫態期間的響應稱為**暫態響應**。

對於較大的 ‘t’ 值，暫態響應將為零。理想情況下，這個 ‘t’ 值是無窮大，實際上是五倍常數。

數學上，我們可以寫成

$$\lim_{t\rightarrow \infty }c_{tr}(t)=0$$

穩態響應

即使在暫態響應對於較大的 ‘t’ 值為零之後，時間響應中仍然存在的部分稱為**穩態響應**。這意味著，即使在穩態期間，暫態響應也將為零。

示例

讓我們找到控制系統 $c(t)=10+5e^{-t}$ 的時間響應的暫態和穩態項。

這裡，第二項 $5e^{-t}$ 當 **t** 表示無窮大時將為零。所以，這是**暫態項**。而第一項 10 即使當 **t** 趨於無窮大時仍然存在。所以，這是**穩態項**。

標準測試訊號

標準測試訊號包括脈衝、階躍、斜坡和拋物線。這些訊號用於使用輸出的時間響應來了解控制系統的效能。

單位脈衝訊號

單位脈衝訊號 δ(t) 定義為

$\delta (t)=0$ 對於 $t\neq 0$

以及 $\int_{0^-}^{0^+} \delta (t)dt=1$

下圖顯示了單位脈衝訊號。

因此，單位脈衝訊號僅在 ‘t’ 等於零時存在。該訊號在圍繞 ‘t’ 的較小時間間隔內的面積等於零為一。對於所有其他 ‘t’ 值，單位脈衝訊號的值為零。

單位階躍訊號

單位階躍訊號 u(t) 定義為

$$u(t)=1;t\geq 0$$

$=0; t<0$

下圖顯示了單位階躍訊號。

因此，單位階躍訊號存在於所有正 ‘t’ 值（包括零）中。並且在此區間內其值為一。對於所有負 ‘t’ 值，單位階躍訊號的值為零。

單位斜坡訊號

單位斜坡訊號 r(t) 定義為

$$r(t)=t; t\geq 0$$

$=0; t<0$

我們可以用單位階躍訊號 u(t) 來表示單位斜坡訊號 r(t)，如下所示：

$$r(t)=tu(t)$$

下圖顯示了單位斜坡訊號。

因此，單位斜坡訊號存在於所有正 ‘t’ 值（包括零）中。並且在此區間內其值隨 ‘t’ 線性增加。對於所有負 ‘t’ 值，單位斜坡訊號的值為零。

單位拋物線訊號

單位拋物線訊號 p(t) 定義為：

$$p(t)=\frac{t^2}{2}; t\geq 0$$

$=0; t<0$

我們可以用單位階躍訊號 u(t) 來表示單位拋物線訊號 p(t)，如下所示：

$$p(t)=\frac{t^2}{2}u(t)$$

下圖顯示了單位拋物線訊號。

因此，單位拋物線訊號存在於所有正 **‘t’** 值（包括零）中。並且在此區間內其值隨 ‘t’ 非線性增加。對於所有負 ‘t’ 值，單位拋物線訊號的值為零。