時域指標

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在本章中，讓我們討論二階系統的時域指標。下圖顯示了二階系統在欠阻尼情況下的階躍響應。

所有時域指標都在此圖中表示。響應達到穩定時間之前的部分稱為瞬態響應，響應達到穩定時間之後的部分稱為穩態響應。

延遲時間

從零時刻開始，響應達到**其最終值的一半**所需的時間。用 $t_d$ 表示。

考慮二階系統在 t ≥ 0 時的階躍響應，其中 'δ' 在 0 和 1 之間。

$$c(t)=1-\left ( \frac{e^{-\delta \omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$

階躍響應的最終值為 1。

因此，在 $t=t_d$ 時，階躍響應的值將為 0.5。將這些值代入上述方程。

$$c(t_d)=0.5=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_d}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_d+\theta)$$

$$\Rightarrow \left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_d}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_d+\theta)=0.5$$

使用線性近似，可以得到**延遲時間 t_d** 為

$$t_d=\frac{1+0.7\delta}{\omega_n}$$

上升時間

響應從**其最終值的 0% 上升到 100%** 所需的時間。這適用於**欠阻尼系統**。對於過阻尼系統，考慮從最終值的 10% 到 90% 的持續時間。上升時間用**t_r**表示。

在 t = t₁ = 0 時，c(t) = 0。

我們知道階躍響應的最終值為 1。

因此，在 $t = t_2$ 時，階躍響應的值為 1。將這些值代入以下方程。

$$c(t)=1-\left ( \frac{e^{-\delta \omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$

$$c(t_2)=1=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_2}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_2+\theta)$$

$$\Rightarrow \left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_2}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_2+\theta)=0$$

$$\Rightarrow \sin(\omega_dt_2+\theta)=0$$

$$\Rightarrow \omega_dt_2+\theta=\pi$$

$$\Rightarrow t_2=\frac{\pi-\theta}{\omega_d}$$

將 t₁ 和 t₂ 的值代入以下**上升時間**方程，

$$t_r=t_2-t_1$$

$$\therefore \: t_r=\frac{\pi-\theta}{\omega_d}$$

從上述方程可以得出，上升時間 $t_r$ 和阻尼頻率 $\omega_d$ 成反比。

峰值時間

響應第一次達到**峰值**所需的時間。用 $t_p$ 表示。在 $t = t_p$ 時，響應的一階導數為零。

我們知道欠阻尼情況下二階系統的階躍響應為

$$c(t)=1-\left ( \frac{e^{-\delta \omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$

對 $c(t)$ 求關於 't' 的導數。

$$\frac{\text{d}c(t)}{\text{d}t}=-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\omega_d\cos(\omega_dt+\theta)-\left ( \frac{-\delta\omega_ne^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$

將 $t=t_p$ 和 $\frac{\text{d}c(t)}{\text{d}t}=0$ 代入上述方程。

$$0=-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_p}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\left [ \omega_d\cos(\omega_dt_p+\theta)-\delta\omega_n\sin(\omega_dt_p+\theta) \right ]$$

$$\Rightarrow \omega_n\sqrt{1-\delta^2}\cos(\omega_dt_p+\theta)-\delta\omega_n\sin(\omega_dt_p+\theta)=0$$

$$\Rightarrow \sqrt{1-\delta^2}\cos(\omega_dt_p+\theta)-\delta\sin(\omega_dt_p+\theta)=0$$

$$\Rightarrow \sin(\theta)\cos(\omega_dt_p+\theta)-\cos(\theta)\sin(\omega_dt_p+\theta)=0$$

$$\Rightarrow \sin(\theta-\omega_dt_p-\theta)=0$$

$$\Rightarrow sin(-\omega_dt_p)=0\Rightarrow -\sin(\omega_dt_p)=0\Rightarrow sin(\omega_dt_p)=0$$

$$\Rightarrow \omega_dt_p=\pi$$

$$\Rightarrow t_p=\frac{\pi}{\omega_d}$$

從上述方程可以得出，峰值時間 $t_p$ 和阻尼頻率 $\omega_d$ 成反比。

峰值超調量

峰值超調量 **M_p** 定義為響應在峰值時間處的偏差與響應的最終值之差。也稱為**最大超調量**。

數學上，可以寫成

$$M_p=c(t_p)-c(\infty)$$

其中，

c(t_p) 是響應的峰值。

c(∞) 是響應的最終（穩態）值。

在 $t = t_p$ 時，響應 c(t) 為 -

$$c(t_p)=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_p}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_p+\theta)$$

將 $t_p=\frac{\pi}{\omega_d}$ 代入上述方程的右側。

$$c(t_P)=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_n\left ( \frac{\pi}{\omega_d} \right )}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin\left ( \omega_d\left ( \frac{\pi}{\omega_d} \right ) +\theta\right )$$

$$\Rightarrow c(t_p)=1-\left ( \frac{e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )(-\sin(\theta))$$

我們知道

$$\sin(\theta)=\sqrt{1-\delta^2}$$

所以，我們將得到 c(t_p) 為

$$c(t_p)=1+e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}$$

將 $c(t_p)$ 和 $c(\infty)$ 的值代入峰值超調量方程。

$$M_p=1+e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}-1$$

$$\Rightarrow M_p=e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}$$

**峰值超調量的百分比 %** $M_p$ 可以用此公式計算。

$$\%M_p=\frac{M_p}{c(\infty )}\times 100\%$$

將 $M_p$ 和 $c(\infty)$ 的值代入上述公式，我們將得到峰值超調量的百分比 $\%M_p$ 為

$$\%M_p=\left ( e^ {-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )} \right )\times 100\%$$

從上述方程可以得出，如果阻尼比 $\delta$ 增大，則峰值超調量的百分比 $\% M_p$ 將減小。

穩定時間

響應達到穩態並在最終值周圍的指定容差範圍內保持的時間。通常，容差範圍為 2% 和 5%。穩定時間用 $t_s$ 表示。

5% 容差範圍的穩定時間為 -

$$t_s=\frac{3}{\delta\omega_n}=3\tau$$

2% 容差範圍的穩定時間為 -

$$t_s=\frac{4}{\delta\omega_n}=4\tau$$

其中，$\tau$ 為時間常數，等於 $\frac{1}{\delta\omega_n}$。

• 穩定時間 $t_s$ 和時間常數 $\tau$ 均與阻尼比 $\delta$ 成反比。

• 穩定時間 $t_s$ 和時間常數 $\tau$ 均與系統增益無關。這意味著即使系統增益發生變化，穩定時間 $t_s$ 和時間常數 $\tau$ 也不會改變。

示例

現在讓我們找到一個控制系統的時域指標，該系統具有閉環傳遞函式 $\frac{4}{s^2+2s+4}$，當單位階躍訊號作為輸入應用於該控制系統時。

我們知道二階閉環控制系統的傳遞函式的標準形式為

$$\frac{\omega_n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$

透過將這兩個傳遞函式相等，我們將得到無阻尼自然頻率 $\omega_n$ 為 2 rad/sec，阻尼比 $\delta$ 為 0.5。

我們知道阻尼頻率 $\omega_d$ 的公式為

$$\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\delta^2}$$

將 $\omega_n$ 和 $\delta$ 的值代入上述公式。

$$\Rightarrow \omega_d=2\sqrt{1-(0.5)^2}$$

$$\Rightarrow \omega_d=1.732 \: rad/sec$$

將 $\delta$ 的值代入以下關係

$$\theta=\cos^{-1}\delta$$

$$\Rightarrow \theta=\cos^{-1}(0.5)=\frac{\pi}{3}\:rad$$

將上述必要的值代入每個時域指標的公式並進行簡化，以便獲得給定傳遞函式的時域指標的值。

下表顯示了時域指標的公式、必要值的代入和最終值。