控制系統 - 奈奎斯特圖

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奈奎斯特圖是極座標圖的延續，用於透過改變ω從−∞到∞來確定閉環控制系統的穩定性。這意味著，奈奎斯特圖用於繪製開環傳遞函式的完整頻率響應。

奈奎斯特穩定判據

奈奎斯特穩定判據基於**宗量原理**。它指出，如果‘s’平面閉合路徑包含P個極點和Z個零點，則相應的$G(s)H(s)$平面必須繞原點旋轉$P − Z$圈。因此，我們可以將環繞次數N寫為：

$$N=P-Z$$

• 如果封閉的‘s’平面閉合路徑僅包含極點，則$G(s)H(s)$平面中環繞的方向將與‘s’平面中封閉閉合路徑的方向相反。

• 如果封閉的‘s’平面閉合路徑僅包含零點，則$G(s)H(s)$平面中環繞的方向將與‘s’平面中封閉閉合路徑的方向相同。

現在讓我們將宗量原理應用於‘s’平面的整個右半部分，將其選為閉合路徑。這條選定的路徑稱為**奈奎斯特**輪廓。

我們知道，如果閉環傳遞函式的所有極點都在‘s’平面的左半部分，則閉環控制系統是穩定的。因此，閉環傳遞函式的極點不過是特徵方程的根。隨著特徵方程階數的增加，找到根變得困難。因此，讓我們如下關聯這些特徵方程的根。

• 特徵方程的極點與開環傳遞函式的極點相同。

• 特徵方程的零點與閉環傳遞函式的極點相同。

我們知道，如果‘s’平面的右半部分沒有開環極點，則開環控制系統是穩定的。

即，$P=0 \Rightarrow N=-Z$

我們知道，如果‘s’平面的右半部分沒有閉環極點，則閉環控制系統是穩定的。

即，$Z=0 \Rightarrow N=P$

**奈奎斯特穩定判據**指出，圍繞臨界點(1+j0)的環繞次數必須等於特徵方程的極點數，這與‘s’平面的右半部分的開環傳遞函式的極點數相同。將原點移動到(1+j0)得到特徵方程平面。

繪製奈奎斯特圖的規則

遵循以下規則繪製奈奎斯特圖。

• 在‘s’平面上確定開環傳遞函式$G(s)H(s)$的極點和零點。

• 透過改變ω從零到無窮大繪製極座標圖。如果在s = 0處存在極點或零點，則為了繪製極座標圖，將ω從0+改變到無窮大。

• 繪製上述極座標圖在ω從−∞到零（如果在s=0處存在任何極點或零點，則為0⁻）範圍內的映象。

• 無限半圓的個數將等於原點處極點或零點的個數。無限半圓將從極座標圖映象結束的位置開始。並且這個無限半圓將結束在極座標圖開始的位置。

繪製奈奎斯特圖後，我們可以使用奈奎斯特穩定判據找到閉環控制系統的穩定性。如果臨界點(-1+j0)位於環繞之外，則閉環控制系統絕對穩定。

使用奈奎斯特圖進行穩定性分析

從奈奎斯特圖中，我們可以根據這些引數的值識別控制系統是穩定、臨界穩定還是不穩定。

• 增益交越頻率和相位交越頻率
• 增益裕度和相位裕度

相位交越頻率

奈奎斯特圖與負實軸相交（相位角為180⁰）的頻率稱為**相位交越頻率**。它用$\omega_{pc}$表示。

增益交越頻率

奈奎斯特圖幅值為1的頻率稱為**增益交越頻率**。它用$\omega_{gc}$表示。

控制系統的穩定性基於相位交越頻率和增益交越頻率之間的關係，如下所示。

• 如果相位交越頻率$\omega_{pc}$大於增益交越頻率$\omega_{gc}$，則控制系統**穩定**。

• 如果相位交越頻率$\omega_{pc}$等於增益交越頻率$\omega_{gc}$，則控制系統**臨界穩定**。

• 如果相位交越頻率$\omega_{pc}$小於增益交越頻率$\omega_{gc}$，則控制系統**不穩定**。

增益裕度

增益裕度$GM$等於奈奎斯特圖在相位交越頻率處的幅值的倒數。

$$GM=\frac{1}{M_{pc}}$$

其中，$M_{pc}$是在相位交越頻率處正常刻度下的幅值。

相位裕度

相位裕度$PM$等於180⁰與增益交越頻率處相位角的和。

$$PM=180^0+\phi_{gc}$$

其中，$\phi_{gc}$是增益交越頻率處的相位角。

控制系統的穩定性基於增益裕度和相位裕度之間的關係，如下所示。

• 如果增益裕度$GM$大於1且相位裕度$PM$為正，則控制系統**穩定**。

• 如果增益裕度$GM$等於1且相位裕度$PM$為零度，則控制系統**臨界穩定**。

• 如果增益裕度$GM$小於1和/或相位裕度$PM$為負，則控制系統**不穩定**。