頻率響應分析

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我們已經討論了控制系統的時間響應分析以及二階控制系統的時域指標。在本章中，讓我們討論控制系統的頻率響應分析以及二階控制系統的頻域指標。

什麼是頻率響應？

系統的響應可以分為瞬態響應和穩態響應。我們可以使用傅立葉積分找到瞬態響應。系統對正弦輸入訊號的穩態響應稱為**頻率響應**。在本章中，我們將只關注穩態響應。

如果將正弦訊號作為線性時不變（LTI）系統的輸入，則它會產生穩態輸出，該輸出也是正弦訊號。輸入和輸出正弦訊號具有相同的頻率，但幅度和相位角不同。

設輸入訊號為 -

$$r(t)=A\sin(\omega_0t)$$

開環傳遞函式將為 -

$$G(s)=G(j\omega)$$

我們可以用幅值和相位表示 $G(j\omega)$，如下所示。

$$G(j\omega)=|G(j\omega)| \angle G(j\omega)$$

將 $\omega = \omega_0$ 代入上述方程。

$$G(j\omega_0)=|G(j\omega_0)| \angle G(j\omega_0)$$

輸出訊號為

$$c(t)=A|G(j\omega_0)|\sin(\omega_0t + \angle G(j\omega_0))$$

• 輸出正弦訊號的**幅值**是透過將輸入正弦訊號的幅值與 $\omega = \omega_0$ 時 $G(j\omega)$ 的幅值相乘得到的。

• 輸出正弦訊號的**相位**是透過將輸入正弦訊號的相位與 $\omega = \omega_0$ 時 $G(j\omega)$ 的相位相加得到的。

其中，

• **A** 是輸入正弦訊號的幅值。

• **ω₀** 是輸入正弦訊號的角頻率。

我們可以將角頻率 $\omega_0$ 寫成如下所示。

$$\omega_0=2\pi f_0$$

這裡，$f_0$ 是輸入正弦訊號的頻率。類似地，您可以對閉環控制系統遵循相同的程式。

頻域指標

頻域指標為**諧振峰值、諧振頻率和頻寬**。

將二階閉環控制系統的傳遞函式視為，

$$T(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$

將 $s = j\omega$ 代入上述方程。

$$T(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{(j\omega)^2+2\delta\omega_n(j\omega)+\omega_n^2}$$

$$\Rightarrow T(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{-\omega^2+2j\delta\omega\omega_n+\omega_n^2}=\frac{\omega_n^2}{\omega_n^2\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}+\frac{2j\delta\omega}{\omega_n} \right )}$$

$$\Rightarrow T(j\omega)=\frac{1}{\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2} \right )+j\left ( \frac{2\delta\omega}{\omega_n} \right )}$$

設 $\frac{\omega}{\omega_n}=u$ 將此值代入上述方程。

$$T(j\omega)=\frac{1}{(1-u^2)+j(2\delta u)}$$

$T(j\omega)$ 的幅值為 -

$$M=|T(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt {(1-u^2)^2+(2\delta u)^2}}$$

$T(j\omega)$ 的相位為 -

$$\angle T(j\omega)=-tan^{-1}\left( \frac{2\delta u}{1-u^2} \right )$$

諧振頻率

它是頻率響應幅值第一次達到峰值的頻率。用 $\omega_r$ 表示。在 $\omega = \omega_r$ 時，$T(j\omega)$ 幅值的第一個導數為零。

對 $M$ 關於 $u$ 求導。

$$\frac{\text{d}M}{\text{d}u}=-\frac{1}{2}\left [ (1-u^2)^2+(2\delta u)^2 \right ]^{\frac{-3}{2}} \left [2(1-u^2)(-2u)+2(2\delta u)(2\delta) \right ]$$

$$\Rightarrow \frac{\text{d}M}{\text{d}u}=-\frac{1}{2}\left [ (1-u^2)^2+(2\delta u)^2 \right ]^{\frac{-3}{2}} \left [4u(u^2-1 +2\delta^2) \right ]$$

將 $u=u_r$ 和 $\frac{\text{d}M}{\text{d}u}==0$ 代入上述方程。

$$0=-\frac{1}{2}\left [ (1-u_r^2)^2+(2\delta u_r)^2 \right ]^{-\frac{3}{2}}\left [ 4u_r(u_r^2-1 +2\delta^2) \right ]$$

$$\Rightarrow 4u_r(u_r^2-1 +2\delta^2)=0$$

$$\Rightarrow u_r^2-1+2\delta^2=0$$

$$\Rightarrow u_r^2=1-2\delta^2$$

$$\Rightarrow u_r=\sqrt{1-2\delta^2}$$

將 $u_r=\frac{\omega_r}{\omega_n}$ 代入上述方程。

$$\frac{\omega_r}{\omega_n}=\sqrt{1-2\delta^2}$$

$$\Rightarrow \omega_r=\omega_n \sqrt{1-2\delta^2}$$

諧振峰值

它是 $T(j\omega)$ 幅值的峰值（最大值）。用 $M_r$ 表示。

在 $u = u_r$ 時，$T(j\omega)$ 的幅值為 -

$$M_r=\frac{1}{\sqrt{(1-u_r^2)^2+(2\delta u_r)^2}}$$

將 $u_r = \sqrt{1 − 2\delta^2}$ 和 $1 − u_r^2 = 2\delta^2$ 代入上述方程。

$$M_r=\frac{1}{\sqrt{(2\delta^2)^2+(2\delta \sqrt{1-2\delta^2})^2}}$$

$$\Rightarrow M_r=\frac{1}{2\delta \sqrt {1-\delta^2}}$$

頻率響應中的諧振峰值與某些阻尼比 $\delta$ 值的時域瞬態響應中的峰值過沖相關。因此，諧振峰值和峰值過沖彼此相關。

頻寬

它是 $T(j\omega)$ 的幅值從其零頻率值下降到 70.7% 的頻率範圍。

在 $\omega = 0$ 時，$u$ 的值為零。

將 $u = 0$ 代入 M。

$$M=\frac{1}{\sqrt {(1-0^2)^2+(2\delta(0))^2}}=1$$

因此，在 $\omega = 0$ 時，$T(j\omega)$ 的幅值為 1。

在 3dB 頻率處，$T(j\omega)$ 的幅值將是 $\omega = 0$ 時 $T(j\omega)$ 幅值的 70.7%。

即，在 $\omega = \omega_B$ 時，$M = 0.707(1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$$\Rightarrow M=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{(1-u_b^2)^2+(2\delta u_b)^2}}$$

$$\Rightarrow 2=(1-u_b^2)^2+(2\delta)^2 u_b^2$$

設 $u_b^2=x$

$$\Rightarrow 2=(1-x)^2+(2\delta)^2 x$$

$$\Rightarrow x^2+(4\delta^2-2)x-1=0$$

$$\Rightarrow x=\frac{-(4\delta^2 -2)\pm \sqrt{(4\delta^2-2)^2+4}}{2}$$

僅考慮 x 的正值。

$$x=1-2\delta^2+\sqrt {(2\delta^2-1)^2+1}$$

$$\Rightarrow x=1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}$$

將 $x=u_b^2=\frac{\omega_b^2}{\omega_n^2}$ 代入

$$\frac{\omega_b^2}{\omega_n^2}=1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}$$

$$\Rightarrow \omega_b=\omega_n \sqrt {1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}}$$

頻率響應中的頻寬 $\omega_b$ 與時域瞬態響應中的上升時間 $t_r$ 成反比。